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12
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Solutio"
a) •Existence
Soit (x ,y) E IR
2 .
Soit t E IR.
.
lx +ty l
S1 ltl :S: 1, alors:
2
~ lx l + ltllYI ~ lxl + IYI ~ lx l + I I.
1 + t "' 1 + t 2 "' 1 + t 2 "'
y
.
lx +tyl
S1 ltl ~ 1, alors:
2
::;; lx l + ltllYI ::;; lxl + t
2
~Y I ::;; lxl + lyl.
1 + t
1 + t 2
1 + t
Ceci montre :
lx + tyl
V t E IR, l + 12 :S: lxl + lyl,
d
1 ,
1· .
lx+ t yl
b
' d' ' I' .
d N(
)
one app 1cat10n t ~
2
est ornee, ou existence e
x ,y .
1 + t
• (i) On a, pour tout À E IR et tout (x ,y) E IR
2 :
IÀx + tÀ.y l
lx+ tyl
N(À(x ,y)) = Sup
2
= IÀI Sup
2
= 1).. IN (x ,y).
t EIR
J + l
I EIR
1 + f
(ii) On a, pour tout (x ,y) E IR
2 :
lx + tyl
lx+ ty l
N(x ,y)=O Ç=:} Sup
2
=Ü ~ V'tE IR,
2
=Ü
t ER
1 + l
1 + l
~ V t E IR, x + ty = 0 ~ (x ,y) = (0,0).
(iii) On a, pour tous (x, y ), (x',y') E IR 2 :
,
,
,
,
1 (x + x ' ) + t (y + y' ) 1
N((x ,y )+(x ,y))=N(x +x ,y+ y )=Sup
2
t E IR
1 + t
~ S ( lx + tyl lx' +ty'J )
"' up
2 +
2
/ER
l + t
1 + t
J x + tyl
lx' + ty'I
, ,
:S: Sup
2
+ Sup
2
= N(x ,y) + N(x ,y ).
IEIR
1 + f
I ER
1 + f
On conclut : N est une norme sur IR
2 •
b) On a, pour tout (x, y) E IR
2 :
(x ,y) E B~ (O ; 1) Ç=:} N(x ,y) :S: 1
lx+ t yJ
lx + tyl
Ç=:} Sup
2
:S: l Ç=:} V t E IR,
2
:S: 1
IEIR
1 + t
1 + t
Ç=:} V t E IR, -1 - t
2 :S: x + ty :S: 1 + t
2
1
t
2 + y t + (1 + x) ~ 0
Ç=:} V t E IR,
t
2 - yt + (1 - x) ;;::: 0
1
y2 - 4(1 + x ) :S: 0
1 y
2 :S: 4(x + 1)
<==:::}
(-y) 2 -4(1-x) :S: O Ç=:} y2 :S: 4(-x + l).
Cot\seils
Ne pas oublier de montrer d'abord l'existence de N (x ,y) pour tout (x ,y) E IR
2
.
Par exemple, remplacer t par 0 puis remplacer t par 1.
Inégalité triangulaire dans ~ .
Propriété de la borne supérieure
d'une somme de deux fonctions.
Définition de la boule unité fermée
B ~ (O !).
Propriété des trinômes réels : si un trinôme
réel du second degré garde un signe
constant sur tous les réels, alors son discriminant est ::;; O.