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0
N
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.......
J::
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>0.
0
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10
Chapitre 1 • Espaces vecto riels no rmés
1.1.1 Trouver toutes les no rmes sur le IR -espace
vectoriel IR .
- 1.1.2 Soient E un JK-ev, d : E 2 ~ IR une application
telle que, pour tout (x , y, z) de E 3 et tout À de lK :
1) d(y,x) = d (x ,y)
2) d(x, y ) = 0 {:::::::}X= y
3) d(x ,z) ::::.;; d (x ,y) +d (y,z )
4) d (h ,Ày ) = l)..ld (x ,y)
5 ) d(x + z,y + z) = d(x ,y).
Montrer qu 'il existe une norme unique N sur E telle que :
V (x, y) E E
2 ,
d (x ,y) = N(x - y ).
1.1.3 Soient E un JK-ev, N : E ~ IR une application
telle que :
1) V x E E - {0}, N(x) > 0
2)N(0)= 0
3) V (x ,y) E E
2 , 'v'À E JK, N(h + y ) ::::.;; IÀIN(x) + N(y ) .
Montrer que N est une norme sur E.
1.1.4 Soient E un JK -ev, p E N*, N 1 , ... ,Np des normes
sur E, (a 1 , ••• ,ap) E JR~ - {(0, ... ,0)}, N : E ~ lR
définie par :
p
"lx E E , N(x) = L ak Nk(x ).
k = I
Montrer que N est une norme sur E.
1.1.5 Soient E = C([O; 1] ,IR) , p E N*,
(f 1 , ... ,fp) E EP, N: JR P ~ IR l'application définie
par:
V(x , , ... ,Xp) E IRP, N (x, , ... ,Xp) = [' l t xdk(t) l dt.
la k= I
Déterminer une CNS sur (f 1 , . . . , fp ) pour que N soit une
norme sur JRP .
1.1.6 Soient E , F deux JK -ev, 11 .ll F une norme sur F ,
f E L ( E , F ), N: E ~ lR
x t-----+ 11 ! (x) 11 F
Trouver une CNS sur f pour que N soit une norme sur E.
1.1. 7 Soient n E N*, a 0 . . . ,a 11 E lR deux à deux di stincts.
On note :
Il
N : 1R 11 [X] ~ lR , P t-----+ N (P ) = L IP (ak) I .
Montrer que N est une norme sur IR 11 [X] .
1.1.8 Normes de HO!der sur JK"
Soient n E N*, p E]l ; + oo[, q = _P_
p - l
l
l
(donc - + - = 1 ).
p
q
k=O
a) Montrer: V (a ,b) E (IR+)
2 ,
1
1
ab ::::.;; - a P + - bq .
p
q
On note 11 .l lp : JK" ~ lR l'application définie par :
n
.!.
'v'(x1 , ... ,Xn) E lK" , ll (x1 , ... ,Xn) llp = ( [ ; lxk lp) P ,
et de même pour 11 .llq ·
b) Montrer, pour tout (x,y) de (lK
11
)
2 :
a )
l~XkYk l : : : : . ; ; llx llpllY llq (analogue de l'inégalité
de Cauchy-Schwarz), où (x 1 , . . . ,x 11 ) = x et
(y , , ... ,yn) = y
f3) llx + Yll p : : : : . ; ; llx ll p + ll y llp·
c) En déduire que 11 .l lp est une norme sur JK
11
, appelée
norme de Holder.
d) Montrer, pour tout x de lK" : l lx l lp -----* l lx l loo,
p ~+oo
où l lx l loo = Max lxk 1 lorsque x = (x i , ... ,xn) .
1,;;b :;;n
1.1.9 Normes de HOlder sur C([a; b],IK)
Soient (a ,b) E IR 2 te l que a < b , E = C([a; b],JK) ,
p
p E]l ; + oo[, q = - -.
p -1
a) Montrer : V(a ,{3 ) E (IR+ )2 ,
1
l
af3 ::::. ;; - a P + - f3q
p
p
(cf. exercice 1.1.8 a)).
On note 11.llp : E ~ IR l'application définie par :
'v' f E E , ll f llp = (1b lf( t )IP dt ) "",
et de même pour 11 .l lq·
b) Montrer, pour tout (f,g) de E 2 :
a )
11b f g l::::.;; ll f llpllg llq
f3) Il !+ g ll" : : : : . ; ; 11 ! 11" + llgll p·
c) En déduire que 11 .llp est une norme sur E , appelée
norme de Holder.
d) Montrer, pourtout f de E: llfl l ~ llf lloo
p----> +oo
où ll f lloo = Sup lf(t) I.
IE[a ;b]
1.1.10 Soient (E ,11.11) un evn, (a ,b) E ( E - {O}) x E,
f : lR ~ lR
. Montrer que f est convexe (c'est-àt t-----+ l lt a + hl 1
dire :
V (u ,v) E IR 2 , VÀ E [0; l],
f(Àu + (1 - À)v) : : : : . ; ; )..j(u) + (1 - À)f(v),
cf. Analyse MPSI, 5.4. l Déf.)
et que : lim f = + oo.
'fOO
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Chapitre 1 • Espaces vecto riels no rmés
1.1.1 Trouver toutes les no rmes sur le IR -espace
vectoriel IR .
- 1.1.2 Soient E un JK-ev, d : E 2 ~ IR une application
telle que, pour tout (x , y, z) de E 3 et tout À de lK :
1) d(y,x) = d (x ,y)
2) d(x, y ) = 0 {:::::::}X= y
3) d(x ,z) ::::.;; d (x ,y) +d (y,z )
4) d (h ,Ày ) = l)..ld (x ,y)
5 ) d(x + z,y + z) = d(x ,y).
Montrer qu 'il existe une norme unique N sur E telle que :
V (x, y) E E
2 ,
d (x ,y) = N(x - y ).
1.1.3 Soient E un JK-ev, N : E ~ IR une application
telle que :
1) V x E E - {0}, N(x) > 0
2)N(0)= 0
3) V (x ,y) E E
2 , 'v'À E JK, N(h + y ) ::::.;; IÀIN(x) + N(y ) .
Montrer que N est une norme sur E.
1.1.4 Soient E un JK -ev, p E N*, N 1 , ... ,Np des normes
sur E, (a 1 , ••• ,ap) E JR~ - {(0, ... ,0)}, N : E ~ lR
définie par :
p
"lx E E , N(x) = L ak Nk(x ).
k = I
Montrer que N est une norme sur E.
1.1.5 Soient E = C([O; 1] ,IR) , p E N*,
(f 1 , ... ,fp) E EP, N: JR P ~ IR l'application définie
par:
V(x , , ... ,Xp) E IRP, N (x, , ... ,Xp) = [' l t xdk(t) l dt.
la k= I
Déterminer une CNS sur (f 1 , . . . , fp ) pour que N soit une
norme sur JRP .
1.1.6 Soient E , F deux JK -ev, 11 .ll F une norme sur F ,
f E L ( E , F ), N: E ~ lR
x t-----+ 11 ! (x) 11 F
Trouver une CNS sur f pour que N soit une norme sur E.
1.1. 7 Soient n E N*, a 0 . . . ,a 11 E lR deux à deux di stincts.
On note :
Il
N : 1R 11 [X] ~ lR , P t-----+ N (P ) = L IP (ak) I .
Montrer que N est une norme sur IR 11 [X] .
1.1.8 Normes de HO!der sur JK"
Soient n E N*, p E]l ; + oo[, q = _P_
p - l
l
l
(donc - + - = 1 ).
p
q
k=O
a) Montrer: V (a ,b) E (IR+)
2 ,
1
1
ab ::::.;; - a P + - bq .
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On note 11 .l lp : JK" ~ lR l'application définie par :
n
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'v'(x1 , ... ,Xn) E lK" , ll (x1 , ... ,Xn) llp = ( [ ; lxk lp) P ,
et de même pour 11 .llq ·
b) Montrer, pour tout (x,y) de (lK
11
)
2 :
a )
l~XkYk l : : : : . ; ; llx llpllY llq (analogue de l'inégalité
de Cauchy-Schwarz), où (x 1 , . . . ,x 11 ) = x et
(y , , ... ,yn) = y
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c) En déduire que 11 .l lp est une norme sur JK
11
, appelée
norme de Holder.
d) Montrer, pour tout x de lK" : l lx l lp -----* l lx l loo,
p ~+oo
où l lx l loo = Max lxk 1 lorsque x = (x i , ... ,xn) .
1,;;b :;;n
1.1.9 Normes de HOlder sur C([a; b],IK)
Soient (a ,b) E IR 2 te l que a < b , E = C([a; b],JK) ,
p
p E]l ; + oo[, q = - -.
p -1
a) Montrer : V(a ,{3 ) E (IR+ )2 ,
1
l
af3 ::::. ;; - a P + - f3q
p
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(cf. exercice 1.1.8 a)).
On note 11.llp : E ~ IR l'application définie par :
'v' f E E , ll f llp = (1b lf( t )IP dt ) "",
et de même pour 11 .l lq·
b) Montrer, pour tout (f,g) de E 2 :
a )
11b f g l::::.;; ll f llpllg llq
f3) Il !+ g ll" : : : : . ; ; 11 ! 11" + llgll p·
c) En déduire que 11 .llp est une norme sur E , appelée
norme de Holder.
d) Montrer, pourtout f de E: llfl l ~ llf lloo
p----> +oo
où ll f lloo = Sup lf(t) I.
IE[a ;b]
1.1.10 Soient (E ,11.11) un evn, (a ,b) E ( E - {O}) x E,
f : lR ~ lR
. Montrer que f est convexe (c'est-àt t-----+ l lt a + hl 1
dire :
V (u ,v) E IR 2 , VÀ E [0; l],
f(Àu + (1 - À)v) : : : : . ; ; )..j(u) + (1 - À)f(v),
cf. Analyse MPSI, 5.4. l Déf.)
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