P 3.1 Convolution des fonctions
continues à support borné
Les fonctions continues à support borné interviennent dans de nombreux
contextes de l'analyse moderne. Ce problème P 3.1 constitue aussi une préparation
aux techniques de la transformation de Fourier, d.ch.5.
On note C l'algèbre des applications continues de IR
dans IR .
Pour f E C, on appelle support de f l'ensemble
{x E IR,f (x) # O} , c'est-à-dire l'adhérence (dans IR ) de
l'ensemble des points en lesquels f ne s'annule pas. On note
K la partie de C formée des applications continues à support borné.
1) Vérifier que K est un idéal de l'algèbre C, c'est-à-dire :
1
~rp: ' t / J : K, rp + 1/J E K
Va E IR, 'Vrp E K , arp E K
V f E C, Vrp E K , f rp E K.
Pour (f,rp) E C x K, on note f *
2) a) Montrer que f * g est correctement définie.
Montrer: a) 'V(f,rp) E C x K, f * rp E C
{3) 'V(cp,'lj;) E K
2 , 3) Établir:
'V(cp, 1/J) E K,2,
Problème
4) Démontrer que * est une loi interne commutative et
associative dans K.
5) On note e : IR -----+ IR l'application définie par :
e(x) = 1e
0
- 1 ~" 2 six E] - l ; l[
six E] - oo; -1] u [l; + oo[.
Cette application (J intervient fondamentalement dans « la théorie des
distributions », non abordée dans ce cours.
Montrer que e E K et que e est de classe C
00 sur IR .
On note, pour n E N*, rp 11 : IR -----+ IR l'application définie
par: Vx E IR, cp 11 (x) = y,,e(nx), où y,, est le réel > 0 tel
1
+00
que -oo rp,, (x) d x = 1.
Montrer que, pour toute uniformément vers Il en résulte facilement que toute application continue
f: [a;b] ~ lR
est limite uniforme d'une suite d'applications de classe C
00 , d. ch.5.
En déduire que l'ensemble des applications de classe C
00
sur IR et à support borné est dense dans (K , 11 · 11 00 ).
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continues à support borné
Les fonctions continues à support borné interviennent dans de nombreux
contextes de l'analyse moderne. Ce problème P 3.1 constitue aussi une préparation
aux techniques de la transformation de Fourier, d.ch.5.
On note C l'algèbre des applications continues de IR
dans IR .
Pour f E C, on appelle support de f l'ensemble
{x E IR,f (x) # O} , c'est-à-dire l'adhérence (dans IR ) de
l'ensemble des points en lesquels f ne s'annule pas. On note
K la partie de C formée des applications continues à support borné.
1) Vérifier que K est un idéal de l'algèbre C, c'est-à-dire :
1
~rp: ' t / J : K, rp + 1/J E K
Va E IR, 'Vrp E K , arp E K
V f E C, Vrp E K , f rp E K.
Pour (f,rp) E C x K, on note f *
2) a) Montrer que f * g est correctement définie.
Montrer: a) 'V(f,rp) E C x K, f * rp E C
{3) 'V(cp,'lj;) E K
2 , 3) Établir:
'V(cp, 1/J) E K,2,
Problème
4) Démontrer que * est une loi interne commutative et
associative dans K.
5) On note e : IR -----+ IR l'application définie par :
e(x) = 1e
0
- 1 ~" 2 six E] - l ; l[
six E] - oo; -1] u [l; + oo[.
Cette application (J intervient fondamentalement dans « la théorie des
distributions », non abordée dans ce cours.
Montrer que e E K et que e est de classe C
00 sur IR .
On note, pour n E N*, rp 11 : IR -----+ IR l'application définie
par: Vx E IR, cp 11 (x) = y,,e(nx), où y,, est le réel > 0 tel
1
+00
que -oo rp,, (x) d x = 1.
Montrer que, pour toute uniformément vers Il en résulte facilement que toute application continue
f: [a;b] ~ lR
est limite uniforme d'une suite d'applications de classe C
00 , d. ch.5.
En déduire que l'ensemble des applications de classe C
00
sur IR et à support borné est dense dans (K , 11 · 11 00 ).
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