-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
~ a.
0
u
Cette proposition est très utile en
pratique, cf. par exemple l'étude de la
fonction r d'Euler ci-après.
Méthode fréquemment applicable:
comme
f (x) =la" ln(x +cos t)dt
ne paraît pas directement calculable, on
va former f' (x) à l'aide du théorème de
dérivation sous le signe la", puis calculer
f ' (x), et enfin remonter à f (x) .
l
3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
Une récurrence permet d'obtenir le Corollaire suivant:
Soit n EN*.
Si
alors
Si
alors
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
aF
anF
• F, - , ... , - - existent, sont continues par rapport à x
ax
axn
et sont continues par morceaux par rapport à t
aF
anF
• - , ... , - - vérifient HD sur A x ! ,
ax
axn
I
• pour tout x E A, a F (x, ·) , ... , an F (x, ·) , sont intégrables sur l
ax
axn
•l'application f :
A ----+ ][{
est de classe en sur A et:
x 1-------+ J 1 F(x,t) dt
.
Cil
- f ai F
VtE{l, ... ,n},VxEA , f (x)- - .(x,t) dt.
l ax
1
Extension au cas où l'hypothèse de domination
est vérifiée sur toute partie compacte incluse dans A
• pour tout x E A, F (x, ·) est intégrable sur I
aF
• - existe sur A x 1, est continue par rapport à la premjère variable (x)
ax
et continue par morceaux par rapport à la deuxième variable (t)
aF , .fi
• -
ven e HDL sur A x !,
ax
I
• pour tout x E A, a F (x, ·) est intégrable sur l
ax
•l'application f :
A ----+ OC
est de classe C
1 sur A et:
x 1-------+ J 1 F(x,t) dt
V x E A, f (x) = - (x,t) dt.
, f aF
J ax
Preuve
Se déduit du théorème de dérivation sous le signe [ de la même façon que la Prop. du
§ 3.5.1 se déduit du théorème de continuité sous le signe [ .
•
Exemple:
Calculer, pour x E ] 1 ; +ool : 1" ln (x + cos t ) dt .
Notons F : (x, t) t---* ln (x + cos t).
Pour tout x E ] 1 ; +oo[, F (x , ·) est intégrable sur [O ; n] , car continue sur ce segment.
aF
1
L'application -
: (x,t) t---*
est définie sur ]l; +oo[x[O; n], continue par
ax
x+ cost
195