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0
c
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0
(V)
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0
N
@
.......
.!::
O'l
·;::::
>0.
0
u
180
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
•
•
•
Lors de la recherche de lim F ( X) , il se peut que l' on ait à étudier des formes indéterminées (ex. 3.2.6).
X-+b
Dans ces calculs d'intégrales sur un segment ou ces calculs de primitives, des changements de variable et l' intégration par parties seront souvent utili sés. Il est déconseillé d' effectuer une intégration par parties directement sur
des intégrales sur un intervalle quelconque. On travaillera sur un segment puis on passera à la limite.
Une fois établie l'existence d' une intégrale, pour effectuer le calcul, il se peut qu' un changement de variable
échangeant les bornes permette un calcul rapide (ex. 3.2.6 d), q) r)).
Un changement de variable peut, à partir d'une intégrale de fonction continue sur un segment, amener une intégrale de fonction intégrable sur un intervalle autre qu' un segment. Ce cas est fréquent lorsqu' on utilise le chanx
gement de variable défini part= tan 2
(ex. 3.2.8).
Pour chercher une limite d'intégrale, on commencera par montrer l'existence des intégrales que l'on veut manipuler. Puis on essaiera de majorer, minorer, encadrer, après d' éventuelles transformations sur l' intégrale
(ex. 3.2.13).
• L'étude d'intégrales sur un intervalle quelconque dépendant d'un paramètre est un des sujets les plus fréquemment abordés en analyse (ex. 3.2.11 à 3.2.19). D ' éventuels changements de variable ou d ' éventuelles intégrations par parties permettent quelquefois de se ramener à des intégrales plus simples. La recherche de limites
d' intégrales pourra se faire par encadrement, par retour à la définition (en s ) quelquefois, ou par des théorèmes
que l' on verra plus loin (§ 3.5).
3.2.6
Existence et calcul des intégrales suivantes (on
montrera l'intégrabilité, puis on calculera l'intégrale ;
l
b f (x ) dx désigne, si elle existe, {
f, ou {
f, ou
a
}~ ;~
ha:~
{
f, ou {
f, suivant l'exemple) :
J [a;b[
l ia:b[
l
+ oo x 4 + 1
a)
dx
1
x 3 (x + 1)(x 2 + l )
r+ oo x4
b) lo (x5 + 1) 3/2 dx
c)f+oo __ dx __
1
x ~x
2
+ l
d) {O re
X
dx
} 0
1 + sin x
1
+ oo x
2 + 3x + 3 .
e)
3
e- xsinxdx
o
(x + 1)
r+oo dx
f) 11 x3 v'x2=I
g) l + oo
dx
1
(x + l )../X2=1'
1
+00
dx
h)
3C')
o
(x + l )vx 2
i) f' j
1 - x -
1 - dx, a E] - oo; O[U[l ; + oo[
Jo
x x - a
J) j b
dx
, (a ,b )E IR 2 , 0 < a < b
a x .J(x - a )(b - x )
['
ln x
k) Jo (1 - x ) 3/2 dx
1
1
ln x
l)
dx
o Jx(l - x)3/2
m) r+oo (ln(X + 1) - ln X - -
1 - ) dx
lo
X+ 1
1
+ oo 2 Arctanx - rr
n)
r.;
dx
0
2-y x
o) r+oo 1 - 3 x
2
Arcsin (X - 1 ) dx
lo Jx (l -x2)
x + 1
1
+ oo sin 3 x
p)
-
2
-
dx
0
X
q) 1
1
sin2x ln tanx dx et 1I sin 2x ln sin x dx
r) 1 rc x ln sin x dx.
3.2 .7 Soit f : [0; l] -----+ IR définie par:
f(x ) = [ x
0
2 srn ; 2 si x E]O; l]
SÎ X = Ü
Montrer : a) f est dérivable sur [0; l]
b) f ' n'est pas intégrable sur ]0; l] .
3.2 .8
Pour a E IR, existence et calcul éventuel de
{ orr _ d x _
Jo 1 + cos a cosx
3.2.9 CNS sur (a ,b ,c) E IR 3 pour que
c
x 1---+ x (Arctan x)
2 - ax - b - - soit intégrable sur
X
[l ; + oo[ et, dans ce cas, calculer l'intégrale.
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
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Lors de la recherche de lim F ( X) , il se peut que l' on ait à étudier des formes indéterminées (ex. 3.2.6).
X-+b
Dans ces calculs d'intégrales sur un segment ou ces calculs de primitives, des changements de variable et l' intégration par parties seront souvent utili sés. Il est déconseillé d' effectuer une intégration par parties directement sur
des intégrales sur un intervalle quelconque. On travaillera sur un segment puis on passera à la limite.
Une fois établie l'existence d' une intégrale, pour effectuer le calcul, il se peut qu' un changement de variable
échangeant les bornes permette un calcul rapide (ex. 3.2.6 d), q) r)).
Un changement de variable peut, à partir d'une intégrale de fonction continue sur un segment, amener une intégrale de fonction intégrable sur un intervalle autre qu' un segment. Ce cas est fréquent lorsqu' on utilise le chanx
gement de variable défini part= tan 2
(ex. 3.2.8).
Pour chercher une limite d'intégrale, on commencera par montrer l'existence des intégrales que l'on veut manipuler. Puis on essaiera de majorer, minorer, encadrer, après d' éventuelles transformations sur l' intégrale
(ex. 3.2.13).
• L'étude d'intégrales sur un intervalle quelconque dépendant d'un paramètre est un des sujets les plus fréquemment abordés en analyse (ex. 3.2.11 à 3.2.19). D ' éventuels changements de variable ou d ' éventuelles intégrations par parties permettent quelquefois de se ramener à des intégrales plus simples. La recherche de limites
d' intégrales pourra se faire par encadrement, par retour à la définition (en s ) quelquefois, ou par des théorèmes
que l' on verra plus loin (§ 3.5).
3.2.6
Existence et calcul des intégrales suivantes (on
montrera l'intégrabilité, puis on calculera l'intégrale ;
l
b f (x ) dx désigne, si elle existe, {
f, ou {
f, ou
a
}~ ;~
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f, ou {
f, suivant l'exemple) :
J [a;b[
l ia:b[
l
+ oo x 4 + 1
a)
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1
x 3 (x + 1)(x 2 + l )
r+ oo x4
b) lo (x5 + 1) 3/2 dx
c)f+oo __ dx __
1
x ~x
2
+ l
d) {O re
X
dx
} 0
1 + sin x
1
+ oo x
2 + 3x + 3 .
e)
3
e- xsinxdx
o
(x + 1)
r+oo dx
f) 11 x3 v'x2=I
g) l + oo
dx
1
(x + l )../X2=1'
1
+00
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(x + l )vx 2
i) f' j
1 - x -
1 - dx, a E] - oo; O[U[l ; + oo[
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x x - a
J) j b
dx
, (a ,b )E IR 2 , 0 < a < b
a x .J(x - a )(b - x )
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ln x
k) Jo (1 - x ) 3/2 dx
1
1
ln x
l)
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m) r+oo (ln(X + 1) - ln X - -
1 - ) dx
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X+ 1
1
+ oo 2 Arctanx - rr
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0
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o) r+oo 1 - 3 x
2
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x + 1
1
+ oo sin 3 x
p)
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2
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0
X
q) 1
1
sin2x ln tanx dx et 1I sin 2x ln sin x dx
r) 1 rc x ln sin x dx.
3.2 .7 Soit f : [0; l] -----+ IR définie par:
f(x ) = [ x
0
2 srn ; 2 si x E]O; l]
SÎ X = Ü
Montrer : a) f est dérivable sur [0; l]
b) f ' n'est pas intégrable sur ]0; l] .
3.2 .8
Pour a E IR, existence et calcul éventuel de
{ orr _ d x _
Jo 1 + cos a cosx
3.2.9 CNS sur (a ,b ,c) E IR 3 pour que
c
x 1---+ x (Arctan x)
2 - ax - b - - soit intégrable sur
X
[l ; + oo[ et, dans ce cas, calculer l'intégrale.