-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
On a vu, dans Algèbre MPSI, que
l'inégalité triangulaire pour Il · 112
sur ~n, appelée aussi inégalité de
Minkowski, résultait de l'inégalité de
Cauchy et Schwarz pour le produit
scalaire canonique sur ~
11 •
On retrouve ici l'inégalité de CauchySchwarz dans OC
11 •
L'implication réciproque, de symbole
<=.traduit une condition suffisante.
~ Cf.exercice 1.1.8 p.10.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
n lJJ Cf.exercice 1.1.8 d) p.10.
f/J Cf. Analyse MPSI § 4.1.8 Prop. 3.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
n
n
n
n
(iii) llx + Yl l1 = L lxk + Yk l , . : : _: ; L (lxk l + IYk D= L lxk l + L IYkl = llxll 1 + llyl l1.
k=I
k=I
k=I
k=I
n
(ii) llxll2 = 0 <==> L lxkl
2 = 0 <==> (Vk E {l , ... ,n}, lxkl 2 = 0) <==> x = 0
k=I
(iii) L'inégalité llx + yl l 2 , . : : . : ; llxlli + llylli est acquise pour OC = lR d'après l'étude des produits scalaires (cf. Algèbre MPSI, 10.1.2 Th. 2). Nous allons cependant en donner une preuve élémentaire.
n
<==> L (lxk + Ykl
2
- lxd - lyd ) , . : : _: ; 211 xll2ll Ylli
k=I
<==>Ré( txkyk) ~ llxllillylli { = lt xkykl ~ llxllil lylli
<==> L XkYkX/ Yt , . : : _: ; L lxd1Yt l
2
l :>;k,/:>;n
l :>;k, l :>;n
<==> L (lxd1Ytl 2 + lx1 1
2 1 Yd - XkYkXIYl - XtY1XkYk) ~ 0
l :>;k < l :>;n
<==> L lxkYt -x1 yd ~ O.
l :>;k ;n
La norme 11.112 est appelée la norme euclidienne usuelle sur JR" si OC = JR, la norme hermitienne usuelle sur (ii) llxlloo = 0 <==> Max lxkl = 0
l :>;k:>;n
<==> (Vk E {l , ... ,n), lxkl = 0) <==>X= 0
(iii) llx + Ylloo = Max lxk + Ykl
l :>;k :>;n
= llxl loo + llYlloo·
2) Pour tout n de N* et tout p de [l ; +oo[, l'application :
11 .11":
est une norme sur OC" , appelée norme de HOlder .
Les normes 1 1.11 1 et 11 .112 de l'exemple 1) sont des cas particuliers de 11. l lp, p = 1, p = 2.
Pour tout X = (x i,. . .,Xn ) de ocn' on a l lxl lp ----+ Max lxk 1 ' ce qui justifie la
p oo l :>;k :>;n
notation 11. l loo·
3) Soit X un ensemble non vide; l'ensemble B(X; IK) des applications bornées de X dans IK
est un IK-ev.
L'application 11 .lloo : B (X ;IK)---+ IR estunenormesurB(X;IK).
J ~ Sup If (x)I
x EX
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