Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
'
Bien noter que cette Prop. 1 ne donne
..._
qu'une implication :sif est intégrable sur
[a; b[.alors F admetunelimitefinieen
b. La Prop. analogue dans le cas des
applications à valeurs dans lR+ (§ 3.1.3
1) Prop. 1 p. 158) fournissait une
équivalence logique.
-o \JJ
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
174
On se ramène au cas de fonctions à
valeurs réelles ? 0.
On se ramène au cas de fonctions à
valeurs réelles, traité ci-dessus en 1).
Exercice 3.2.6 a).
Ceci revient, avec le vocabulaire du§ 3.4
plus loin, à montrer que l'intégrale
i
+oo sinx
impropre
- - dx est semi1
X
convergente, c'est-à-dire convergente
mais non absolument convergente.
Si f est intégrable sur [a; b[, alors F admet une limite finie en b, et :
1 l
x
f = lim
f.
fa;b[
X-+b a
L'intégrale {
f est alors aussi notée {b f (ou : {b f (x) dx).
l[a;b[
l a
l a
1 Preuve
1) Cas où/ est à valeurs réelles
1
Supposons f intégrable sur [a; b[ et à valeurs réelles. Alors f+ et f - sont intégrables sur [a; b[ et
1
f-1 f + -1 f -
[a:b[
[a;b[
[a:b[
D'après 3.1.3 1) Prop. 1 p. 158:
1x f + ~ L:bc f + et 1x f - ~ L:bc f - .
Comme:
'VX E [a ; b[,
il en résulte que F admet une limite finie en b et que :
lim F(x) = 1 f+ -1 f- = 1 f.
X -> b
fa:b[
fa:b[
[a:bf
2) Cas où/ est à valeurs complexes
Supposons f : [a; b[ _____.,. C intégrable sur [a; b[. Alors Réf et lm f sont intégrables sur [a ; b[ et :
1
f = 1 Réf + i 1 Im f.
[a:bf
fa;bf
fa:bf
D'après 1) (cas réel) : l
x Réf~ j Réf et lx Imf ~ j Imf.
a
X ->b
[a:b[
a
X ->b
[a:b[
F(X) = 1x f = 1x (Réf+ i Imf) = 1x Réf +i1x Imf, il en
a
a
a
a
Comme : 'VX E [a; b[,
résulte que F admet une limite finie en b et que :
lim F(X) = 1 Réf + i 1 lm f = 1 f.
X->b
[a;b[
[a;b[
[a;b[
•
Remarque : li se peut que F admette une limite finie en b sans que f soit intégrable sur
[a; b[.
Considérons l'exemple: a= l, b = +oo,
sinx
f(x) = - .
X
·Montrons quefn'est pas intégrable sur [l; +oo[.Soit XE [3; +oo[.On a:
l
x+ !} lsinx l
lx lcosyl
- - dx
= ,,
--rr- dy,
1+!}
X
[y=x -1 ] 1 y+ _
2
d'où:
2 1X+!flsinxl
1+!}
X
-lx+!} lsinxl
lx lcos yl
lx lsinxl + lcosxl
dx -
- - dx +
--rr - dy ?
rr dx
1+!}
X
1 y+ -
I+!}
X+ -
2
2
l
x sin
2 x+cos
2 x
[ (
rr)Jx
( rr)
?
rr dx = ln x + -
=ln X+ -
2
- ln(l + rr),
1+!}
X+_
2 1+ !}
2
l
x 1sinx 1
donc
- - dx -------+ + oo.
1
X
X->+oo