Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
..D Dans la Prop. 3, f et g sont à valeurs
réelles.
1
~ \ Rappelons que, par définition:
\...:..)
Ill : I ___... ~
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.j.J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
t t-----* If (t)I.
Cf.Analyse MPSl,6.3 Prop.2.
Exercices 3.2. 1, 3.2.2.
Ainsi:
C.C
1 (/ ,OC)= C(J,OC) n .C
1 (/,OC).
\ '? Revoir la définition d'une norme,§ 1.1.1
~ 1) Déf.p.4.
168
Preuve:
{
Réf int. sur l 1
-
1) (j int. sur /) {::::::::> 1
f .
/
{::::::::> (f int. sur /).
m mt. sur
2) f 7 = 1 (Réf - i lm f) = 1 Réf - i 1 lm f = 1 Réf + i 1 lm f = 1 f . •
3) Inégalités
•
Croissance de l'intégration __
Soient/,g E CM(l,IR), intégrables sur/. Sif , , ; g , alors 1f , , ; 1 g. ~
Preuve
Supposons f et g continues et intégrables sur l et f ~ g .
Alors g - f ~ 0 et g - f est intégrable sur l (cf. 3.2. l Prop. 2 p. 165). D'après 3.1.1 Rem. 1) p. 154,
on a:
Alors, en utilisant la Proposition l :
jg-jf= jcg -f) ~ O. donc J! ~ Jg.
•
Pour toute/ E CM(/,C)intégrable sur I:
Preuve
Il existe une suite croissante (Jn)n EN* de segments dont la réunion est égale à l. D'après 3.2.1 Prop. 5
p. 167:
[ J - - ) > 1 f et [ Ill - - ) > j 1J1 .
}~
noo
f
}~
l
Comme : Vn E N*, 1 [ f 1 ~ [ 1f 1,
111 1
1111
1 on en déduit, en passant à la limite quand n tend vers l'infini: 11 f i ~ j IJI.
•
4) Norme N 1 et convergence en moyenne
L'ensemble des applications continues et intégrables sur I, à valeurs dans JK, est un
IK-ev, et l'application N1 : f >---> j 111 est une norme sur ce IK-ev.
J
Preuve
Notons ici C.C
1 (/,OC) l'ensemble des applications continues et intégrables sur/, à valeurs dans IK ; il est
clairqueC.C
1 (/,IK)estun !K-sevdeC(/,IK) (cf.3.2.1 Prop.2p.165).
De plus, l'application N 1 : C.C 1 (/,OC) -----+ IR est une norme sur C.C
1 (/,IK), puisque, pour tout a de OC
ft---+ f 1 If 1
ettoutesf,gdeC.C
1 (/,IK):