3.1 ·Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
Exemple de calcul d'une intégrale sur un intervalle quelconque
l
+oo Arctan x
Existence et calcul de l =
4
dx.
X
Solution
1) Existence
Arctan x
•L'application f : x ~
est continue sur [l ; +oo[.
x4
1T
On af(x )
"'
- 4
> 0 et 4 > 1, donc, d'après l'exemple de Riemann en +oo
x -
+oo 2x
e t le théorème d'équivalence pour des fonctions ;,::: 0, f est intégrable sur [l ; +oo[.
Ceci montre que 1 existe.
2) Calcul
Soit X E [l ; +oo [. On a, par une intégration par parties :
l x Arctan x [ x -
3
]x lx x3
1
- - - dx = -
Arctan x
-
- - - dx
1
x 4
-3
1
1
- 3 1 + x 2
x -
3
l 1T
l lx 1
= - - - Arctan X + - - + -
dx.
3
3 4
3 1 x3 (t + x2)
l
1
L'application g: x t----+ 3
2 est continuesur[l; +oo [, g (x)
,....,
5
> 0
X (1 + X )
x ---+ +oo X
et 5 > 1, donc, d'après l'exemple de Riemann en +oo et le théorème d'équivalence
pour des fonctions ;,::: 0 , g est intégrable sur [1 ; +oo[. Ceci montre que
J = l +oo
3
1
2
dx existe.
J
X (1 + X )
1T
1
On déduit, en faisant tendre X vers +oo : 1 =
12
+ 31.
Calculons maintenant J . On a :
l
+oo 1
1 l +oo 1
J = J
x 3(1 + x 2) dx = 2 J y2 (1 +y) dy .
1
On décompose la fraction rationneUe X 2 (X + l) en éléments simples réels.
li existe a ,b ,c E lR tels que :
l
a
b
c
x 2 c1 + X) = x 2 + x + 1 + x ·
En multipliant par X 2 , puis e n remplaçant X par 0 , on obtient : a = 1.
En multipliant par X + 1 , puis en remplaçant X par - 1, on obtient : c = 1.
En multipliant par X, puis en faisant tendre X vers +oo, on obtient b + c = 0 ,
d'où b = -c = - 1.
On déduit :
1
1
1
l
x2c1 + x) = x2 - x + x + l '
d'où :
J = ~ l+oo (2- -~ + -
1
- ) dy = ~ [ - ~ - ln y+ ln ( y+ l )] +oo
2 1
y2
y
y + 1
2
y
1
1 [ 1
1 + y] +oo
1
1 - ln 2
= - - - + ln - -
= - -(-1 + ln2) =
2
2
y
y
1
2
On conclut:
rr + 2 - 2 ln 2
12
' .::::: 0,3 12942 ...
Conseils
Commencer par s'assurer de l'existence
de/.
Arctan x -* 1- =f. 0 donc
x~+oo
Arctan x ~ !!_.
x->+oo
2
La présence du facteur Arctan x, dont la
dérivée est simple, incite à envisager une
intégration par parties. Celle-ci ne doit
pas être effectuée directement sur
[ I ; +oo[, mais sur [ I ; X] , puis on fait
tendre X vers +oo.
{
u = Arctan x
v' = x - 4
1
1
1
u = 1 +x2
x -3
V = - .
-3
Changement de variable :
y = x
2 , dy = 2x dx .
Méthode de multiplication et remplacement, pour calculer a, b ,c.
Attention à ne pas décomposer cette
intégrale en somme de trois intégrales
dont certaines n'existent pas, par
exemple J.+oo _!_ dy.
1
y
On groupe les deux logarithmes, à cause
de leur comportement lorsque y -* +oo.
Contrôle : puisque f ;,::: 0, on doit avoir
l ;,::: O.
163