Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
"'O
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
Ces deux exemples sont importants et
d'usage fréquent.
On envisageicix i-> - lnx,carpour
toutx E]O; !],on a ln x ~ O.
Exercice 3.1.1 d}.
Les deux exemples de Riemann (Th.1 et
Th.2) sont des résultats très importants
du cours d'analyse, d'usage très fréquent.
Exercices 3.1.1 b}, c}.
........
~ Attention à ne pas confondre les deux
conditions correspondant aux deux
exemples de Riemann, en 0, en +oo.
·;::
>- 0.
0
u
160
Exemples:
J) Pour tout a de lR, l'application x 1----+ ecxx est intégrable sur [0; +oo[ si et seulement si
a < 0, puisque:
V X E [0; +oo[,
{ X
11 cxX
lo e'udx = ~(e - 1)
sia = 0
si a =f. 0
De plus, pour tout a de IR~ :
ecxxdx = lim -(ecxX - 1) = - .
1
+ 00
1
1
o
X->+oo a
-a
2) L'application x 1----+ -lnx est intégrable sur ]0; 1], car:
1
VX E]O; l] , fx
1
- lnx dx = [x - x ln x]k = 1 - X+ X ln X
1 - X + X ln X -------+ 1.
X->o+
De plus:
1
1
-lnx dx = 1.
2) Exemples de Riemann
Exemple de Riemann en +oo
1
Pour tout a de lœ., x 1-------+ - est intégrable sur [1; +oo[ si et seulement si a > 1.
xa
Preuve
l
x 1
Calculons, pour tout X de [2; +oo[,
- dx.
1
x rx
•Si a =f. 1
l
X l
- [ x - cx+ I ]X
- dx- - - -
1
xrx
-a+ 1 1
x-a+ I - J
-a+ 1
1
1
1) Si a > 1 :
x -a+I - 1
- a+I
-------+ - - donc x 1----+ -
est intégrable sur [l ; +oo[,
X-> +oo a - 1'
xrx
et:
r +oo __!___ dx = - 1 - .
1 1 x a
a - 1
2) Si a < 1 :
•Si a= 1
x - cx+I - 1
- a +1
1
-------+ + oo, donc x 1----+ - n'est pas intégrable sur [l ; +oo[.
X-> +oo
xrx
l
x 1
1
- dx = ln X -------+ + oo, donc x 1----+ - n'est pas intégrable sur [l; +oo[ .
1 X
X->+oo
X
Exemple de Riemann en O
1
~
our tout a de lœ., x 1-------+ - est intégrable sur ]O; 1] si et seulement si a < 1 .
xa
--Preuve
1 ère méthode : adapter la preuve du Théorème précédent.
'
1
zeme méthode : par le changement de variable u = - :
X
1
1
1
lt 1
\IX E]O; l] ,
- dx =
---=-- + 2 du,
X xrx
1
u a
et {
-~+ 2 du existe si et seulement si -a + 2 > 1, c'est-à-dire a < 1 .
1 [1;+ 00[ u
•