Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
J
I
1
a
]-co; a] n /
J J
E
IR
E .
•
E .
In [a; + co[
111
E
J
[ ]" ]
..
3.1.3
D Onaainsi: -oo c
::J
0
(V)
......
0
N1 \ Festuneprimitivedefsur[a ; b [ ; F
@ ..._,
F(a) = O .
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
158
r 1.n, , dffiiil . l....._ _______________________ _
1
Soient! E CM(l,ffi.), ;;::: 0, a E /.
l)f est intégrable sur l si et seulement sif est intégrable sur] - oo; a] n let sur
In [a; +oo[.
2) De plus, sif est intégrable sur l , alors:
1 f = 1 -oo;a]n/ f + l n [a;+oo[ f.
Preuve
• Si f est intégrable sur / , alors, d'après la Proposition précédente, f est intégrable sur] - oo; a ] n l et
sur l n [a; +oo[.
• Réciproquement, supposons f intégrable sur] - oo; a] n l et sur l n [a; +oo[. Tl existe une suite
croissante (J 11 ) 11 ew de segments telles que: LJ 1 11 = l et (Vn EN*, a E ln ) .
nEN*
Notons, pour n EN* : l~ = ] - oo; a] n l n, 1:: =ln n [a; +oo[. Il est clair que (J~)neN* et
(J~')neN• sont des suites croissantes de segments telles que :
LJ l~ = ] - oo; a] n /, LJ 1:: = I n [a; +oo[.
nEN*
nEN*
[
i -oo:a]n/ f = n SE~ i.; f = ~j~ i.: f
{
f = Sup { f = lim { f.
l rn[a: +oo[
neN• 11;. '
noo lJ,;
1
D'après 3.1.l Prop. 2 p. 155 :
Il en résulte, d'après la relation de Chasles (2.3.4 3) Prop. 2 p. 134) :
Vn E N* ,
{ f = { f + { f ~ {
f + {
f,
11,,
J 1:, J 1, ' ; 1 1- oo;aJn / 1 ln[ a: + ool
et donc (3. l.l , Déf. 1et2 p. 154),f est intégrable sur let:
{ f = Iim { f = Iim { f + Iim { f = {
f + {
f.
•
1 f
noo 11.,
noo 11:,
noo J 1;;
11-oo;aJn /
1 ln[a: + oo[
Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert
1) Étude théorique
Soient (a ,b) E IR;. x (ffi.U {+oo}) tel que a< b, f E CM([a; b[,ffi.), ;;::: O. Notons
F : [a ; b[-----+ IR;. l'application définie par :
'VX E [a; b[, F(X) = 1x f.
Les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est intégrable sur [a; b[
(ii) Fest majorée sur [a ; b[
(iii) F admet une limite finie en b.
De plus, si l'une de ces trois propriétés est vérifiée, alors :
1
f = Sup 1x f = lim 1x f.
[a ;b[
X E[a;b[ a
X-+b a
L'intégrale {
f est alors aussi notée 1b f (ou :1b f (x) dx).
J [a; b [
a
a