Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
l'l
On parle ici d'intervalle quelconque, par
\J., opposition au cas particulier d 'un
segment, qui fait l'objet du§ 2.3.
'7 Rappel ~e notation (cf. Analyse MPSI,
\J_ § 4.1.2,Def.3):
1+ :/ ~IR ,
x 1-+ j+(x) = Sup(f(x) ,0)
1- :/ ~IR,
X 1-+ r
1 =r - ret111 =r +r.
On note OC = IR ou C .
l désigne, sauf mention contraire, un intervalle non vide ni réduit à un point. Les fonctions envisagées sont, sauf mention contraire, supposées définies et continues par morceaux sur/, et à valeurs
dans OC. L'étude est généralisable aux fonctions à valeurs dans un OC-evn Ede dimension finie.
On note CM(J ,OC) l'ensemble des applications continues par morceaux de J dans OC. Il e st clair
que CM(l ,OC) est, pour les lois usuelles+, · (externe), · (interne), une OC-algèbre commutative,
associative, unitaire. De plus, si f E CM(l ,C) , alors f, Réf, lm f , If 1 sont dans CM(l ,C), et,
si f E CM(l ,IR), alorsj+, 1- , Ill sont dans CM(l,IR).
3.1 Fonctions intégrables à valeurs réelles
positives ou nulles
3.1.1
'
M ne doit pas dépendre de 1 .
,.
Rappel de définition : un segment
\J.- (de IR) est, par définition, un intervalle
fermé borné [a ; fi], où (a ,fi) E IR 2 ,
Ct ~ fi.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
154
Cas particulier d'une fonction continue
par morceaux (et ~ 0) sur un segment.
Définition
1) Définition de l'intégrabilité pour une fonction à valeurs réelles
positives ou nulles
r
~
Soitf E CM(! ,~) telle quef ~ O. On dit quef est intégrable (ou: sommable)
sur l si et seulement s'il existe un élément M de ~+ tel que, pour tout segment J
nclus dans l : i f ~ M.
J
Remarque: Sil est un segment,{ = [a; fi], et si f E CM(/, IR) est ~ O,alors f est intégrable
sur l car, pour tout segment J inclus dans l:
Avec les notations précédentes, si f E CM(/ ,IR) est ~ 0 et intégrable sur/, alors l'ensemble
des i f (lorsque J décrit l'ensemble des segments inclus dans /) est une partie non vide et
majorée de IR, donc admet une borne supérieure dans IR .
D'où la Définition suivante :
Soitf E CM(! .~) .~ 0 et intégrable.
On appelle intégrale de f sur l , et on note J f , la borne supérieure des i f lorsque
J décrit l'ensemble des segments inclus dans l .
Remarques:
J) Avec les hypothèses et notations de la Définition 2: f f ~ O.
2) Si lest un segment [a; fi], alors toute application f de CM(! , IR), ~ 0, est intégrable sur l
et: f f = i/ 3 f. De plus,J est alors intégrable sur les quatre intervalles [a ; fi],
]a ; fi], [a; fi[, ]a ; fi[, et les quatre intégrales de f sur ces intervalles sont égales.
l'l
On parle ici d'intervalle quelconque, par
\J., opposition au cas particulier d 'un
segment, qui fait l'objet du§ 2.3.
'7 Rappel ~e notation (cf. Analyse MPSI,
\J_ § 4.1.2,Def.3):
1+ :/ ~IR ,
x 1-+ j+(x) = Sup(f(x) ,0)
1- :/ ~IR,
X 1-+ r
1 =r - ret111 =r +r.
On note OC = IR ou C .
l désigne, sauf mention contraire, un intervalle non vide ni réduit à un point. Les fonctions envisagées sont, sauf mention contraire, supposées définies et continues par morceaux sur/, et à valeurs
dans OC. L'étude est généralisable aux fonctions à valeurs dans un OC-evn Ede dimension finie.
On note CM(J ,OC) l'ensemble des applications continues par morceaux de J dans OC. Il e st clair
que CM(l ,OC) est, pour les lois usuelles+, · (externe), · (interne), une OC-algèbre commutative,
associative, unitaire. De plus, si f E CM(l ,C) , alors f, Réf, lm f , If 1 sont dans CM(l ,C), et,
si f E CM(l ,IR), alorsj+, 1- , Ill sont dans CM(l,IR).
3.1 Fonctions intégrables à valeurs réelles
positives ou nulles
3.1.1
'
M ne doit pas dépendre de 1 .
,.
Rappel de définition : un segment
\J.- (de IR) est, par définition, un intervalle
fermé borné [a ; fi], où (a ,fi) E IR 2 ,
Ct ~ fi.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
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Cas particulier d'une fonction continue
par morceaux (et ~ 0) sur un segment.
Définition
1) Définition de l'intégrabilité pour une fonction à valeurs réelles
positives ou nulles
r
~
Soitf E CM(! ,~) telle quef ~ O. On dit quef est intégrable (ou: sommable)
sur l si et seulement s'il existe un élément M de ~+ tel que, pour tout segment J
nclus dans l : i f ~ M.
J
Remarque: Sil est un segment,{ = [a; fi], et si f E CM(/, IR) est ~ O,alors f est intégrable
sur l car, pour tout segment J inclus dans l:
Avec les notations précédentes, si f E CM(/ ,IR) est ~ 0 et intégrable sur/, alors l'ensemble
des i f (lorsque J décrit l'ensemble des segments inclus dans /) est une partie non vide et
majorée de IR, donc admet une borne supérieure dans IR .
D'où la Définition suivante :
Soitf E CM(! .~) .~ 0 et intégrable.
On appelle intégrale de f sur l , et on note J f , la borne supérieure des i f lorsque
J décrit l'ensemble des segments inclus dans l .
Remarques:
J) Avec les hypothèses et notations de la Définition 2: f f ~ O.
2) Si lest un segment [a; fi], alors toute application f de CM(! , IR), ~ 0, est intégrable sur l
et: f f = i/ 3 f. De plus,J est alors intégrable sur les quatre intervalles [a ; fi],
]a ; fi], [a; fi[, ]a ; fi[, et les quatre intégrales de f sur ces intervalles sont égales.