'
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Attention : ne pas oublier le terme
f(a).
Bien noter que, dans les hypothèses,/
2e méthode
1
Appliquer le théorème de Taylor-Young pour les fonctions à valeurs réelles à chaque application composante de f dans une base B fixée.
3) Dérivation et primitivation pour un DL(a)
Comme dans Analyse MPSI, 8.3.3, on montre les deux résultats suivants.
Primitivation d'un DL(a )
Soient n E N, I un intervalle ouvert de ~ contenant a, f : I ----+ E. Si f est de
classe C
1 sur I et sif' admet un DLn(a) de partie régulière notée P, alors! admet
un DLn+ 1(a), dont la partie régulière est celle des primitives de P qui vautf(a)
en a:
'VtEI, f(t)=f(a)+ 1
1
P+o((t-a)n+ I).
_ j
f P.l,!3 \iftr
l Dérivation d'un DL(a )
'
'
admet un Dln+ I (a) et/' admet un
Soient n E N, I un intervalle ouvert de ~ contenant a, f : I ----+ E. Si f est de classe C 1 sur I et si f et f ' admettent des développements limités d'ordre n + 1 et n respectivement au voisinage de a, alors la partie régulière du D Ln (a) de f' est la dérivée de la partie régulière du D Ln+ 1 (a) de f.
._ DLn(a).
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
152
P 2.1 Complétude de certains espaces fonctionnels
Soit (F,11-11) un evn.
1) Complétude de B(X; F)
Soit X un ensemble non vide. Montrer que, si F est complet, alors B(X; F) (ensemble des applications bornées
de X dans F , cf. 2.1.4 p. 104) est un evn complet.
En particulier, f.
00 (= B (N; IK)) est un espace de Banach.
2) Complétude de C B (X, F)
Soient ( E, 11-11) un evn, X une partie non vide de E,
C B(X, F ) l'ensemble des applications continues bornées
de X dans F.
a) Montrer que CB(X, F) est un sev fermé de B(X ; F).
b) En déduire que, si F est complet, alors C B (X, F) est un
evn complet.
En particulier, si X est une partie compacte non vide de E
et si F est complet, alors ( C (X , F) , 11 -11 00 ) est un evn complet (cf. 1.3. l Cor. p. 60).
3) Complétude de LC(E ,F)
Soit (E, 11.1) un evn. Montrer que, si F est complet, alors
(LC(E,F),111-111) est un evn complet.
P 2.2 Inégalité des accroissements finis
avec dérivée à droite
Ce problème P 2.2 généralise l'inégalitédes accroissements finis au cas, plus difficile,
où les fonctions ne sont dérivables qu'à droite.
1) Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b, f: [a ; b]--+ E,
g : [a; b] --+ IR continues sur [a; b] et admettant en tout
point de ]a ; b[ des dérivées à droite telles que :
'v't E]a; b[, llJ;(t) ll ~ g~(t) ·
Soient s > 0 ,
X= {t E [a ; b] ;
l'on notera c.
b) Démontrer c = b (raisonner par l'absurde).
c) En déduire: llf(b) - f(a)ll ~ g(b) - g(a).
2) Une application
Déduire que, si f : l --+ E est continue sur un intervalle
0
! , dérivable à droite en tout point del , et telle que J; soit
0
bornée sur l, alors f est M -lipschitzienne, en notant
M = Sup 1 E1llJ;(t)ll -
En particulier, si f : 1 --+ E est continue sur l'intervalle
0
0
!, dérivable à droite en tout point de l , et si (Vt E l ,
J;(t) = 0), alorsf est constante sur 1.
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Attention : ne pas oublier le terme
f(a).
Bien noter que, dans les hypothèses,/
2e méthode
1
Appliquer le théorème de Taylor-Young pour les fonctions à valeurs réelles à chaque application composante de f dans une base B fixée.
3) Dérivation et primitivation pour un DL(a)
Comme dans Analyse MPSI, 8.3.3, on montre les deux résultats suivants.
Primitivation d'un DL(a )
Soient n E N, I un intervalle ouvert de ~ contenant a, f : I ----+ E. Si f est de
classe C
1 sur I et sif' admet un DLn(a) de partie régulière notée P, alors! admet
un DLn+ 1(a), dont la partie régulière est celle des primitives de P qui vautf(a)
en a:
'VtEI, f(t)=f(a)+ 1
1
P+o((t-a)n+ I).
_ j
f P.l,!3 \iftr
l Dérivation d'un DL(a )
'
'
admet un Dln+ I (a) et/' admet un
Soient n E N, I un intervalle ouvert de ~ contenant a, f : I ----+ E. Si f est de classe C 1 sur I et si f et f ' admettent des développements limités d'ordre n + 1 et n respectivement au voisinage de a, alors la partie régulière du D Ln (a) de f' est la dérivée de la partie régulière du D Ln+ 1 (a) de f.
._ DLn(a).
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
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.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
152
P 2.1 Complétude de certains espaces fonctionnels
Soit (F,11-11) un evn.
1) Complétude de B(X; F)
Soit X un ensemble non vide. Montrer que, si F est complet, alors B(X; F) (ensemble des applications bornées
de X dans F , cf. 2.1.4 p. 104) est un evn complet.
En particulier, f.
00 (= B (N; IK)) est un espace de Banach.
2) Complétude de C B (X, F)
Soient ( E, 11-11) un evn, X une partie non vide de E,
C B(X, F ) l'ensemble des applications continues bornées
de X dans F.
a) Montrer que CB(X, F) est un sev fermé de B(X ; F).
b) En déduire que, si F est complet, alors C B (X, F) est un
evn complet.
En particulier, si X est une partie compacte non vide de E
et si F est complet, alors ( C (X , F) , 11 -11 00 ) est un evn complet (cf. 1.3. l Cor. p. 60).
3) Complétude de LC(E ,F)
Soit (E, 11.1) un evn. Montrer que, si F est complet, alors
(LC(E,F),111-111) est un evn complet.
P 2.2 Inégalité des accroissements finis
avec dérivée à droite
Ce problème P 2.2 généralise l'inégalitédes accroissements finis au cas, plus difficile,
où les fonctions ne sont dérivables qu'à droite.
1) Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b, f: [a ; b]--+ E,
g : [a; b] --+ IR continues sur [a; b] et admettant en tout
point de ]a ; b[ des dérivées à droite telles que :
'v't E]a; b[, llJ;(t) ll ~ g~(t) ·
Soient s > 0 ,
X= {t E [a ; b] ;
l'on notera c.
b) Démontrer c = b (raisonner par l'absurde).
c) En déduire: llf(b) - f(a)ll ~ g(b) - g(a).
2) Une application
Déduire que, si f : l --+ E est continue sur un intervalle
0
! , dérivable à droite en tout point del , et telle que J; soit
0
bornée sur l, alors f est M -lipschitzienne, en notant
M = Sup 1 E1llJ;(t)ll -
En particulier, si f : 1 --+ E est continue sur l'intervalle
0
0
!, dérivable à droite en tout point de l , et si (Vt E l ,
J;(t) = 0), alorsf est constante sur 1.