Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
2.4.2
\ '1 Rappel de notations: a E lR .V est un
~ voisinage de a, E est un evn de
dimension finie.
'
..._.,,,. Attention : la réciproque est fausse,
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
150
comme le montre l'exemple des deux
fonctions constantes f = 1 , g = 2.
Preuve
Analogue à celle d' Analyse MPSI, 8.1.2 Prop. l.
•
Equivalence
1) Définition
Soientf,g: V ~ E. On dit quef est équivalente à g au voisinage de a si et seulement si:
f - g = o(Jlgll).
a
L
on note alorsf ~ g, ouf(t) ~ g(t).
a
t-+a
J
{
f = O(iigii)
]
1 ; 8
====}
g = qc1111D .
L _ _ _ _
r iiJJ.jJ.tsrtt:m 1
La relation - est une relation d'équivalence dans l'ensemble des fonctions définies au '
a
voisinage de a et à valeurs dans E.
Remarques:
1) Soit l E E - {0} ;on a: f ~L {==} f -----7 l.
a
a
2) f ~ 0 si et seulement si f est nulle au voisinage de a.
a
2) Opérations relatives à l'équivalence
On note ici f ,g, À, u (resp. dans E (resp. IR, resp. IK) eth une fonction définie au voisinage d'un élément b de i et à valeurs
réelles.
(où Àn =À· À· ... À, n facteurs)
1
3) Si À~µ et si, au voisinage de a (sauf peut-être en a), µ(t) =f 0 , alors - et
a
À
1
- sont définies au voisinage de a (sauf peut-être en a) et :
µ
l
f=o(cp)
4)
.~
====} f = o('ljJ)
cp~ o/
a
a
l
f ~g
5)
a () ====} f =o(u)
g=ou
a
a
1 1
À aµ