-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- Q_
0
u ..-Puisque f et g coïncident sauf sur une
partie finie de [a ; b] , l'application
e = g - f est en escalier et à paliers
nuls, donc d'intégrale nulle.
Par exemple, pour l'application
f: f- 1; O[ U 10; l] ----+ lR
définie par:
{
2 si - ] ~ X < 0
f (x ) = 3 · 0
,,- 1 '
SI
< X ::::,
ona: 1 f =5.
l- 1: 1]
Formule importante.
Ce résultat généralise l'inégalité vue en
première année, pour une application
f: [a ; b]----+ lR continue par
morceaux:
On se ramène aux applications en
escalier.
Rappel de notation :
11! 11 : [a; b] ----+ JR .
H-• llf(l)ll
~ Formule utile en pratique.
2.3 • Intégration sur un segment
L'application e: [a; b) -----+ E
{
0 si Vi E (0, ... ,n - 1 ), t \t]ai ; ai+ I [
/!----'>
g(ai ) - f(ai) si 3i E (0, ... ,n), t =ai
est en escalier et à paliers nuls, donc 1 e = 0, d'où:
[a:b]
1
g = 1 (f + e) = 1 f + 1 e = 1 f.
~ ; ~
~: ~
~ ; ~
~:~
~:~
•
La Prop. 1 précédente permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas d'une application f
définie sur un segment [a; b] privé d'une partie finie de [a ; b] (qu'on peut alors inclure dans une
subdivision s = (a 0 , . .. ,an) de [a; b]) lorsque la restriction de f à chacun des ]ai ; ai+ 1 [
(0 ~ i ~ n - 1) est prolongeable en une application fi continue sur [a; ; a; + 1 L en posant:
1
n-1 1
J=L:
fi.
[a:b]
i = O [a; :a;+ 11
Soit N une norme sur E. On a :
V f E CM, N ( 1b f (t) dt) ~ 1b N(f (t)) dt.
Preuve
Il existe une suite (en : [a; b] -----+ E)neN d'applications en escalier sur [a ; b] convergeant uniformément vers f sur [a; b] (cf. 2.3.3 Th. p. 127).
D'après 2.3.4 1) Th.-Déf. 1 p. 129 : {ben ------+ f b f.
la
noo la
D'autre part, (N o en)neN est une suite d'applications en escalier sur [a; b], convergeant uniformément
vers N o f sur [a; b] car:
Vn E N , Vt E [a; b], l(N o en)(t) - (N o f)(t)I ~ N(en(t) - fn(t)) ~ ,Bllen(t) - f(t) ll,
où ,B > 0 résulte de l'équivalence des normes Net 11 · 11 sur E.
Ainsi: Vn E N , llN o en - N o f ll oo ~ ,B ll en - fll oo ,
d'où: \ln E N , llb N o e,. - lb N o f i ~ ,B(b - a) ll e" - f lloo.
ce qui montre :
{b N o en ------+ {b N o f.
la
noo la
Mais (cf. 2.3.l 2) Prop. 5 p. 123): Vn E N, N (1b en) ~ 1b N o e 11 •
En passant à la limite quand n tend vers +oo, on déduit : N (1b f) ~ 1b N o f.
•
Remarque: Le résultat précédent s'applique en particulier à la norme 11 · 11 donnée sur E :
Vf E CM,
V f E CM, 111 f I l ~ 1 11!11 ~ (b - a) Sup llf(t)ll.
[a ;b]
[a;b]
tE[a;b]
131
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nuls, donc d'intégrale nulle.
Par exemple, pour l'application
f: f- 1; O[ U 10; l] ----+ lR
définie par:
{
2 si - ] ~ X < 0
f (x ) = 3 · 0
,,- 1 '
SI
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ona: 1 f =5.
l- 1: 1]
Formule importante.
Ce résultat généralise l'inégalité vue en
première année, pour une application
f: [a ; b]----+ lR continue par
morceaux:
On se ramène aux applications en
escalier.
Rappel de notation :
11! 11 : [a; b] ----+ JR .
H-• llf(l)ll
~ Formule utile en pratique.
2.3 • Intégration sur un segment
L'application e: [a; b) -----+ E
{
0 si Vi E (0, ... ,n - 1 ), t \t]ai ; ai+ I [
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g(ai ) - f(ai) si 3i E (0, ... ,n), t =ai
est en escalier et à paliers nuls, donc 1 e = 0, d'où:
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g = 1 (f + e) = 1 f + 1 e = 1 f.
~ ; ~
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•
La Prop. 1 précédente permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas d'une application f
définie sur un segment [a; b] privé d'une partie finie de [a ; b] (qu'on peut alors inclure dans une
subdivision s = (a 0 , . .. ,an) de [a; b]) lorsque la restriction de f à chacun des ]ai ; ai+ 1 [
(0 ~ i ~ n - 1) est prolongeable en une application fi continue sur [a; ; a; + 1 L en posant:
1
n-1 1
J=L:
fi.
[a:b]
i = O [a; :a;+ 11
Soit N une norme sur E. On a :
V f E CM, N ( 1b f (t) dt) ~ 1b N(f (t)) dt.
Preuve
Il existe une suite (en : [a; b] -----+ E)neN d'applications en escalier sur [a ; b] convergeant uniformément vers f sur [a; b] (cf. 2.3.3 Th. p. 127).
D'après 2.3.4 1) Th.-Déf. 1 p. 129 : {ben ------+ f b f.
la
noo la
D'autre part, (N o en)neN est une suite d'applications en escalier sur [a; b], convergeant uniformément
vers N o f sur [a; b] car:
Vn E N , Vt E [a; b], l(N o en)(t) - (N o f)(t)I ~ N(en(t) - fn(t)) ~ ,Bllen(t) - f(t) ll,
où ,B > 0 résulte de l'équivalence des normes Net 11 · 11 sur E.
Ainsi: Vn E N , llN o en - N o f ll oo ~ ,B ll en - fll oo ,
d'où: \ln E N , llb N o e,. - lb N o f i ~ ,B(b - a) ll e" - f lloo.
ce qui montre :
{b N o en ------+ {b N o f.
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Mais (cf. 2.3.l 2) Prop. 5 p. 123): Vn E N, N (1b en) ~ 1b N o e 11 •
En passant à la limite quand n tend vers +oo, on déduit : N (1b f) ~ 1b N o f.
•
Remarque: Le résultat précédent s'applique en particulier à la norme 11 · 11 donnée sur E :
Vf E CM,
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