Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
\ ) test dans l'un des intervalles successifs
t1J de la subdivision considérée.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D >- 0.
0
u
128
Autre méthode pour 2) : remarquer qu'il
existe g: [a ; b] ~ E continue et
e: [a; b] ~ E en escalier telles
quef = g + e ,puis appliquer 1) pour
approcheruniformémentg sur[a ; b].
Toute application en escalier sur [a; b)
est affine par morceaux sur [a; b].
Approximation uniforme par des
applications affines par morceaux et
continues.
Construction de l'application affine par
morceaux et continue coïncidant avec
f en ao , ... ,a 11 •
Pour tout t de [a; b[ , il existe k E {O, ... , N - l} tel que :
t E [a + k b ~ a ; a + (k + l) b ~ a [ ,
et on a alors: 11/(t) - en(t) ll = Jl!(t) - f (a+ k b ~a) Il ::::; n ~] '
puisque : 0 ::::; t - (a + k b ~ a) : : : : ; b ~ a : : : : ; T/.
1
Ceci montre que, pour tout n de N, f - e,, est bornée et 11 f - e,, l loo ::::; - -.
n+l
On a ainsi construit une suite (en)nEN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant
uniformément vers f sur [a; b].
2) Traitons maintenant le cas général où f est continue par morceaux.
Il existe p E N* , (a 0 , .•• ,ap) E JR P+ 1 tels que :
1
a = a 0 < . . . < ap = b
pour. tout i de {~, ... , p - l }, f lia,:a;+ i r est prolongeable en une application f;
contmue sur [a;, a;+il·
D'après 1), pour chaque ide {O, ... ,p - 1), il existe une suite d'applications (e;,,,)nEN en escalier sur
[a;; a;+il convergeant uniformément vers f; sur [a; ; a;+il.
Pour chaque n de N, notons e,, : [a; b] -----+ E l'application en escalier définie par:
{
\;/~ E {0, ... , p - 1), \:/t.E~; ; a;+1L e,,(t) = e;,n(t)
\fi E {0, ... ,p), en(a, ) - f(a,).
Onaalors:Vn EN, ll f-e,,11 00 ::::; Max ll f;-e;,,,11 00 ,etdonc llf-e,, 1 1 00 ----+0, c'esto.;:1,,; p-1
noo
à-dire que (e,, )n EN converge uniformément vers f sur [a; b].
Une application
(Ai , B;) E E 2 tel que:
Soitf: [a; b]-----+ E continue.
Il existe une suite (cp,, : [a; b] ---+ E)nEN d'applications affines par morceaux et
continues convergeant uniformément vers f sur [a; b].
Preuve
Reprenons les notations de 1) dans la Preuve du Théorème précédent, et notons
b-a
ak =a+ k ---,;;--•pour k E {0, ... ,N).
Considérons cp,, : [a ; b] -----+ E définie de la façon suivante :
1
\:/k E {O, ... ,N - 1), \:/t E [ak; ak+1 [, cp,,(t) = t - ak (!Cak+1) - f(ak)) + f(ak)
ak+I - llk
cp,,(b) = f(b).
Il est clair que 'Pn est affine par morceaux et continue.
Soit t E [a; b[ ; il existe k E {O, ... ,N - l} tel que t E [ak; ak+iL et on a alors:
ll /(ak+1) - f(ad ll + 11/(ak) - f(t) ll
2
::;; ll f(ak+1) - f(ad ll + 11 /(ak) - f(t)ll ::;; n + 1
·
Ceci montre que ( 'Pn) n EN converge uniformément vers f sur [a; b].
•
\ ) test dans l'un des intervalles successifs
t1J de la subdivision considérée.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D >- 0.
0
u
128
Autre méthode pour 2) : remarquer qu'il
existe g: [a ; b] ~ E continue et
e: [a; b] ~ E en escalier telles
quef = g + e ,puis appliquer 1) pour
approcheruniformémentg sur[a ; b].
Toute application en escalier sur [a; b)
est affine par morceaux sur [a; b].
Approximation uniforme par des
applications affines par morceaux et
continues.
Construction de l'application affine par
morceaux et continue coïncidant avec
f en ao , ... ,a 11 •
Pour tout t de [a; b[ , il existe k E {O, ... , N - l} tel que :
t E [a + k b ~ a ; a + (k + l) b ~ a [ ,
et on a alors: 11/(t) - en(t) ll = Jl!(t) - f (a+ k b ~a) Il ::::; n ~] '
puisque : 0 ::::; t - (a + k b ~ a) : : : : ; b ~ a : : : : ; T/.
1
Ceci montre que, pour tout n de N, f - e,, est bornée et 11 f - e,, l loo ::::; - -.
n+l
On a ainsi construit une suite (en)nEN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant
uniformément vers f sur [a; b].
2) Traitons maintenant le cas général où f est continue par morceaux.
Il existe p E N* , (a 0 , .•• ,ap) E JR P+ 1 tels que :
1
a = a 0 < . . . < ap = b
pour. tout i de {~, ... , p - l }, f lia,:a;+ i r est prolongeable en une application f;
contmue sur [a;, a;+il·
D'après 1), pour chaque ide {O, ... ,p - 1), il existe une suite d'applications (e;,,,)nEN en escalier sur
[a;; a;+il convergeant uniformément vers f; sur [a; ; a;+il.
Pour chaque n de N, notons e,, : [a; b] -----+ E l'application en escalier définie par:
{
\;/~ E {0, ... , p - 1), \:/t.E~; ; a;+1L e,,(t) = e;,n(t)
\fi E {0, ... ,p), en(a, ) - f(a,).
Onaalors:Vn EN, ll f-e,,11 00 ::::; Max ll f;-e;,,,11 00 ,etdonc llf-e,, 1 1 00 ----+0, c'esto.;:1,,; p-1
noo
à-dire que (e,, )n EN converge uniformément vers f sur [a; b].
Une application
(Ai , B;) E E 2 tel que:
Soitf: [a; b]-----+ E continue.
Il existe une suite (cp,, : [a; b] ---+ E)nEN d'applications affines par morceaux et
continues convergeant uniformément vers f sur [a; b].
Preuve
Reprenons les notations de 1) dans la Preuve du Théorème précédent, et notons
b-a
ak =a+ k ---,;;--•pour k E {0, ... ,N).
Considérons cp,, : [a ; b] -----+ E définie de la façon suivante :
1
\:/k E {O, ... ,N - 1), \:/t E [ak; ak+1 [, cp,,(t) = t - ak (!Cak+1) - f(ak)) + f(ak)
ak+I - llk
cp,,(b) = f(b).
Il est clair que 'Pn est affine par morceaux et continue.
Soit t E [a; b[ ; il existe k E {O, ... ,N - l} tel que t E [ak; ak+iL et on a alors:
ll /(ak+1) - f(ad ll + 11/(ak) - f(t) ll
2
::;; ll f(ak+1) - f(ad ll + 11 /(ak) - f(t)ll ::;; n + 1
·
Ceci montre que ( 'Pn) n EN converge uniformément vers f sur [a; b].
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