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0
(V)
......
0 .....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
122
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
c'est-à-dire :
\:/t E / , (A - 1 )'(t) = -A -
1 (t) A
1
(t) A -
1 (t) .
5) Immédiat. Cf. aussi 2.2.3 Th. 2 p. 113.
6) Immédiat.
•
2.3 Intégration sur un segment
2.3.1
L'intégrale d'une application continue
par morceaux sur un segment sera
définie plus loin (§ 2.3.41)) par« passage
à la limite » à partir d'intégrales
d'applications en escalier, d'où l'étude
préalables de celles-ci.
On remarquera que l'on obtient
une subdivision adaptée à f en
«réunissant » des subdivisions adaptées
àf1 ,. · · .fN.
(
Il s'agit ici de l'intégration des applications continues par morceaux sur un segment, ce qui généralise le ch. 6 d ' Analyse MPSI.
Intégration des applications en escalier
sur un segment
Dans tout ce§ 2.3. l , (a,b) désigne un couple de réels tel que a < b .
1) Espace vectoriel des applications en escalier sur un segment
Rappelons (cf. Analyse MPSI, 6.1.1) qu'on appelle subdivision (ou: partage) de [a ; b] toute
fami lle finie (a;) 0 ,;;; ;; ,;;n de réels telle que:
a = ao < a1 < ... < an-1
)
'\
1) Une application e: [a ; b]----+ E est dite en escalier si et seulement s'il existe
s = (ao, ... ,an) ES et (Ao, ... ,A 11 -1) E E
11 tels que :
Vi E {O, ... ,n - 1}, Vt E]ai; ai+IL e(t) =Ai .
On note ici E(a,b) l'ensemble des applications en escalier sur [a; b].
2) Étant donnés= (ao, ... ,a 11 ) ES et e E E(a ,b) , on dit que s est adaptée (ou :
subordonnée) à e si et seulement si, pour tout ide {0, ... ,n - 1}, la restriction de e
à ]a; ; a; + 1 [ est constante.
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient! E E[a ;b],J1 , ... .fN les applications composantes def dans B.
Pour que f soit en escalier sur [a; b] il faut et il suffit que, pour chaque j de
l {l , ... , N},fj soit en escalier sur [a; b].
)
E(a ,b) est un IK-ev pour les lois usuelles. ______ )
Preuve
Comme dans Analyse MPSI, 6.1. l Prop. 1.
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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
c'est-à-dire :
\:/t E / , (A - 1 )'(t) = -A -
1 (t) A
1
(t) A -
1 (t) .
5) Immédiat. Cf. aussi 2.2.3 Th. 2 p. 113.
6) Immédiat.
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2.3 Intégration sur un segment
2.3.1
L'intégrale d'une application continue
par morceaux sur un segment sera
définie plus loin (§ 2.3.41)) par« passage
à la limite » à partir d'intégrales
d'applications en escalier, d'où l'étude
préalables de celles-ci.
On remarquera que l'on obtient
une subdivision adaptée à f en
«réunissant » des subdivisions adaptées
àf1 ,. · · .fN.
(
Il s'agit ici de l'intégration des applications continues par morceaux sur un segment, ce qui généralise le ch. 6 d ' Analyse MPSI.
Intégration des applications en escalier
sur un segment
Dans tout ce§ 2.3. l , (a,b) désigne un couple de réels tel que a < b .
1) Espace vectoriel des applications en escalier sur un segment
Rappelons (cf. Analyse MPSI, 6.1.1) qu'on appelle subdivision (ou: partage) de [a ; b] toute
fami lle finie (a;) 0 ,;;; ;; ,;;n de réels telle que:
a = ao < a1 < ... < an-1
)
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1) Une application e: [a ; b]----+ E est dite en escalier si et seulement s'il existe
s = (ao, ... ,an) ES et (Ao, ... ,A 11 -1) E E
11 tels que :
Vi E {O, ... ,n - 1}, Vt E]ai; ai+IL e(t) =Ai .
On note ici E(a,b) l'ensemble des applications en escalier sur [a; b].
2) Étant donnés= (ao, ... ,a 11 ) ES et e E E(a ,b) , on dit que s est adaptée (ou :
subordonnée) à e si et seulement si, pour tout ide {0, ... ,n - 1}, la restriction de e
à ]a; ; a; + 1 [ est constante.
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient! E E[a ;b],J1 , ... .fN les applications composantes def dans B.
Pour que f soit en escalier sur [a; b] il faut et il suffit que, pour chaque j de
l {l , ... , N},fj soit en escalier sur [a; b].
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E(a ,b) est un IK-ev pour les lois usuelles. ______ )
Preuve
Comme dans Analyse MPSI, 6.1. l Prop. 1.
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