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0
c
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a ·
N
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.._,
.s::
Ol
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>- 0.
0
u
2.2 • Dérivation
2.2.1 Soient l un intervalle de lR , f : l -----+ C dérivable
2.2.3 Soient n E N* , f E .C(!Rn), par:
telle que: Vt E /, f (t) =1- O.
Montrer que If 1 est croissante si et seulement si
Vt E IR,
Re f ;?;: O.
Montrer que 1 (0) .
2.2.4 Soit f :] - 1; 1 [-----+ JR 2 définie par :
2.2.2 Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b , f: [a; b] -----+ E
dérivable telle que :
1
(0,0)
f(t)=
(
1 1)
t
2 sin t , t
2 cos t
si -1 < t ~ o
si o < t < l
Vx E [a; b], ll f(x) ll
2
+ ll f'(x)l l
2 > O.
Montrer que f est dérivable sur ] - 1; 1 [ et que
J ' (] - 1; l[) n'est pas connexe par arcs.
Montrer que f n'a qu'un nombre fini de zéros.
2.2.4
Pour l'étude des dérivées successives
d'une fonction à valeurs veàorielles,on
peut se ramener à celles d'applications
à valeurs réelles ou complexes.
Dérivées successives
On convient de noter f (O) = f.
..
Soit f E E
1
. On définit les dérivées successives de f de proche en proche (c'est-àdire par récurrence) par, pour tout n de N* :
•pour a E /,f(n)(a) est, si elle existe, la dérivée dej
On appelle dérivée n ème de f en a l'élément f(n) (a) de E ; on appelle application
dérivée n èmc de f l'application t !-------* j(n) (t), dont l'ensemble de départ est l'ensemble des t de I tels quef(n)(t) existe.
On dit que f est n fois dérivable sur f si et seulement si j (n) est définie sur J.
On dit que f est indéfiniment dérivable sur l si et seulement si f est n fois dérivable
sur I pour tout n de N* .
dnf
Au lieu dej<
11 )(a) , on peut noter (Dn f)(a) ou (Dnf)(a) ou -
(a) ; au lieu def(n ),
dtn
dnf
on peut noter Dn fou Dnf ou - -.
dtn
Supposons que E soit muni d'une base B = (e1 , ... ,eN ).
Soient n E N*, f E E
1 ; notons !1 , ... , f N les applications composantes de f
dans B.
• Soit a E I ; f est n fois dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de
{ 1, ... , N} ,Jj est n fois dérivable en a, et on a alors :
N
f (n) (a) = L fj(n) (a)ej.
j=l
• f est n fois dérivable sur l si et seulement si, pour chaque j de { 1, ... , N},
fj est n fois dérivable sur l , et on a alors;
J
l~~~~~~~~~~-f- (n_ ) _ =_'f= _ =_ IJ _J_n) _e_ j·~~~~~~~~~---·
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2.2 • Dérivation
2.2.1 Soient l un intervalle de lR , f : l -----+ C dérivable
2.2.3 Soient n E N* , f E .C(!Rn), par:
telle que: Vt E /, f (t) =1- O.
Montrer que If 1 est croissante si et seulement si
Vt E IR,
Re f ;?;: O.
Montrer que 1 (0) .
2.2.4 Soit f :] - 1; 1 [-----+ JR 2 définie par :
2.2.2 Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b , f: [a; b] -----+ E
dérivable telle que :
1
(0,0)
f(t)=
(
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t
2 sin t , t
2 cos t
si -1 < t ~ o
si o < t < l
Vx E [a; b], ll f(x) ll
2
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2 > O.
Montrer que f est dérivable sur ] - 1; 1 [ et que
J ' (] - 1; l[) n'est pas connexe par arcs.
Montrer que f n'a qu'un nombre fini de zéros.
2.2.4
Pour l'étude des dérivées successives
d'une fonction à valeurs veàorielles,on
peut se ramener à celles d'applications
à valeurs réelles ou complexes.
Dérivées successives
On convient de noter f (O) = f.
..
Soit f E E
1
. On définit les dérivées successives de f de proche en proche (c'est-àdire par récurrence) par, pour tout n de N* :
•pour a E /,f(n)(a) est, si elle existe, la dérivée dej
On appelle dérivée n ème de f en a l'élément f(n) (a) de E ; on appelle application
dérivée n èmc de f l'application t !-------* j(n) (t), dont l'ensemble de départ est l'ensemble des t de I tels quef(n)(t) existe.
On dit que f est n fois dérivable sur f si et seulement si j (n) est définie sur J.
On dit que f est indéfiniment dérivable sur l si et seulement si f est n fois dérivable
sur I pour tout n de N* .
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on peut noter Dn fou Dnf ou - -.
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Supposons que E soit muni d'une base B = (e1 , ... ,eN ).
Soient n E N*, f E E
1 ; notons !1 , ... , f N les applications composantes de f
dans B.
• Soit a E I ; f est n fois dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de
{ 1, ... , N} ,Jj est n fois dérivable en a, et on a alors :
N
f (n) (a) = L fj(n) (a)ej.
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• f est n fois dérivable sur l si et seulement si, pour chaque j de { 1, ... , N},
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