Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
2.1 Généralités
2.1.1
Définition des lois usuelles sur les
fonctions
\J2. Il f 11 désigne ici une fonction.
1
. 'j On note - plutôt que g- 1 afin d'éviter
-g._......
fg.
. Il
.
c
une con us1on avec, s1 e e existe, une
::J
0
(V)
......
0
N
application réciproque.
@
~ 7 désigne ici une fonction.
·;::
>- 0.
0
u
\J._ (fig) désigne ici une fonction.
100
Nous allons ici généraliser ou adapter .les définitions et résultats du ch. 4 d' Analyse MPSJ (fonctions réelles d'une variable réelle).
Dans§ 2.1 , X désigne une partie non vide de IR (souvent, X sera un intervalle de IR ).
Structure de fX
1) IK-ev Ex
On munit l'ensemble Ex des applications de X dans E d'une loi interne notée + et
d'une loi externe notée par l'absence de symbole, définies par :
{
Vf,g E Ex, Vt EX, (f +g)(t) = f(t)+g(t)
V).. E IK, V f E EX , Vt E X, (Àf)(t) = Àf (t).
Lorsque E = IK, on munit de plus oc X d'une seconde loi interne, notée par l'absence de
symbole, définie par :
V f,g E IKX, Vt EX, (f g)(t) = f(t)g(t).
La proposition suivante est immédiate.
1) Ex est un IK-ev
2) IK x est une OC-algèbre unitaire, associative, commutative.
2) Autres opérations
1) Pourf E Ex, on peut noter 11111: X----+ ~ , au risque d'une confusion avec,
tf--+ 111 (t)l I
par exemple, llflloo = Sup llf(t)ll si cette borne supérieure existe (cf. 2.1.4 p. 104).
t EX
Dans les cas particuliers E = IR , E = t f--+ llU)I
désigne la valeur absolue ou le module.
1
2) Soit g E IK x ; si (Vx E X , g(x) #- 0), on note - : X ----+ IK l'application définie par :
g
Vt EX, (_!_) (!) = -
1
-.
g
g(t)
Si de plusf E !Kx, on note l_ = f _!_.
g
g
3) Pour f E e x, on note f : X----+~
t !----+ f (t)
On vérifie aisément les formules suivantes, pour tous À E e ,J,g E ex:
f = J, f + g = f + g, Àf = À f ' f g = f g.
4) Si E est muni d'un produit scalaire (.1.), pourf,g E Ex, on note
(f 1 g) : X ----+ IK l'application définie par :
Vt EX, (f 1 g)(t) = (f(t) 1 g(t)) .