330
b) Notons Σ = {X ∈ M n,1 (R); t X X = 1} , φ : S −→ R
X −→ t X SX
.
D’après a), φ est bornée et, avec les notations de la solution
de a) : ∀X ∈ Σ, α φ(X) β.
En gardant les notations de la solution de a), supposons, par
exemple, λ 1 . . . λ n , et notons Y 1 =
1
0
0
, Y n =
0
0
1
,
X 1 = ΩY 1 , X n = ΩY n .
On a : X 1 ∈ Σ , X n ∈ Σ, φ(X 1 ) = t Y 1 DY 1 = λ 1 ,
φ(X n ) = t Y n DY n = λ n .
Ceci montre que φ atteint ses bornes inférieure et supérieure
en (au moins) X 1 et X n respectivement.
• D’après le théorème fondamental, A étant symétrique réelle
est diagonalisable dans M n (R).
Notons λ 1 ,. . . ,λ n les vp de A, rangées de façon que :
λ 1 . . . λ n .
• Soient λ ∈ R, X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R) − {0} . On a :
AX = λX
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
1 j n
j =i
x j
+ d i x i = λx i
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
x j = (λ + 1 − d i )x i
.
Remarquons d’abord que les d i − 1 (1 i n) ne sont pas
vp de A. En effet, si λ = d i − 1 , alors
n
j=1
x j = 0, d’où, pour
tout k de {1,. . . ,n} − {i}, (λ + 1 − d k )x k = 0,
donc x k = 0 (car d 1 ,. . . ,d n sont deux à deux distincts).
Mais alors x i = −
1 k n
k =i
x k = 0 , d’où X = 0, exclu.
Nous pouvons donc supposer :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ + 1 − d i = 0.
En notant s =
n
i=1
x i , on a s = 0. En effet, si s = 0, alors
(∀i ∈ {1,. . . ,n} , (λ + 1− d i )x i = 0), donc X = 0, exclu.
Ainsi :
AX = λX ⇐⇒
s =
n
i=1
x i
∀i ∈ {1,. . . ,n}, x i =
s
λ + 1 − d i
⇐⇒
n
i=1
1
λ + 1 − d i
= 1
∀i ∈ {1,. . . ,n}, x i =
s
λ + 1 − d i
.
Notons ϕ la fonction de R dans R définie par :
ϕ(λ) = −1 +
n
i=1
1
λ + 1 − d i
.
Calculer ϕ et en déduire les variations de ϕ :
4.5.8
λ
−∞
d 1 − 1
λ1
d 2 − 1
λ2 . . . λn−1 d n − 1
λn + ∞
−1
+∞
+∞
+∞
ϕ(λ)
−∞
−∞
−∞
−1
. . .
On a donc :
d 1 − 1 < λ 1 < d 2 − 1 < . . . < λ n−1 < d n − 1 < λ n .
•
d 1 − 1 < λ 1
. . .
d n−1 − 1 < λ n−1
⇒
n−1
i=1
(d i − 1) <
n−1
i=1
λ i
⇐⇒
n
i=1
d i
− d n − (n − 1) <
n
i=1
λ i
− λ n
⇐⇒ tr (A) − d n − (n − 1) < tr(A) − λ n
⇐⇒ λ n < d n + (n − 1) .
a) Il est clair que ψ : E × E −→ R définie par
(x,y) = φ(a)φ(b)ϕ(x,y)
−
1
2
ϕ(a,b)(ϕ(a,x)ϕ(b,y) + ϕ(b,x)ϕ(a,y))
est une fbs sur E × E , et que est la fq associée à ψ.
b) • D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ϕ , on a, pour
tout x de E :
ϕ(a,b) 2 φ(a)φ(b) , (ϕ(a,x)) 2 φ(a)φ(x),
(ϕ(b,x)) 2 φ(b)φ(x) ,
d’où, par multiplication et puisque φ est positive :
ϕ(a,b)ϕ(a,x)ϕ(b,x) φ(a)φ(b)φ(x) .
Ainsi, est une fq positive.
• Soit x ∈ E tel que (x) = 0.
Supposons φ(x) > 0 . D’après les inégalités précédentes et
puisque φ(a) > 0 , φ(b) > 0 , φ(x) > 0 , on déduit
|ϕ(a,b)| = φ(a)φ(b), ce qui contredit la liberté de (a,b)
(cf. 4.2.1 Prop. 1 p. 138).
a) 1) Supposons φ positive. Comme φ = 0, il existe a ∈ E tel
que φ(a) = 0, donc tel que φ(a) > 0. Puisque :
∀ t ∈ R, φ(ta) = t 2 φ(a),
il en résulte φ(Ra) = R + et donc φ(E) = R + .
2) Réciproquement, si φ(E) = R + , alors φ(E) ⊂ R + , donc φ
est positive.
4.5.9
4.5.10
b) Notons Σ = {X ∈ M n,1 (R); t X X = 1} , φ : S −→ R
X −→ t X SX
.
D’après a), φ est bornée et, avec les notations de la solution
de a) : ∀X ∈ Σ, α φ(X) β.
En gardant les notations de la solution de a), supposons, par
exemple, λ 1 . . . λ n , et notons Y 1 =
1
0
0
, Y n =
0
0
1
,
X 1 = ΩY 1 , X n = ΩY n .
On a : X 1 ∈ Σ , X n ∈ Σ, φ(X 1 ) = t Y 1 DY 1 = λ 1 ,
φ(X n ) = t Y n DY n = λ n .
Ceci montre que φ atteint ses bornes inférieure et supérieure
en (au moins) X 1 et X n respectivement.
• D’après le théorème fondamental, A étant symétrique réelle
est diagonalisable dans M n (R).
Notons λ 1 ,. . . ,λ n les vp de A, rangées de façon que :
λ 1 . . . λ n .
• Soient λ ∈ R, X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R) − {0} . On a :
AX = λX
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
1 j n
j =i
x j
+ d i x i = λx i
⇐⇒
∀i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
x j = (λ + 1 − d i )x i
.
Remarquons d’abord que les d i − 1 (1 i n) ne sont pas
vp de A. En effet, si λ = d i − 1 , alors
n
j=1
x j = 0, d’où, pour
tout k de {1,. . . ,n} − {i}, (λ + 1 − d k )x k = 0,
donc x k = 0 (car d 1 ,. . . ,d n sont deux à deux distincts).
Mais alors x i = −
1 k n
k =i
x k = 0 , d’où X = 0, exclu.
Nous pouvons donc supposer :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, λ + 1 − d i = 0.
En notant s =
n
i=1
x i , on a s = 0. En effet, si s = 0, alors
(∀i ∈ {1,. . . ,n} , (λ + 1− d i )x i = 0), donc X = 0, exclu.
Ainsi :
AX = λX ⇐⇒
s =
n
i=1
x i
∀i ∈ {1,. . . ,n}, x i =
s
λ + 1 − d i
⇐⇒
n
i=1
1
λ + 1 − d i
= 1
∀i ∈ {1,. . . ,n}, x i =
s
λ + 1 − d i
.
Notons ϕ la fonction de R dans R définie par :
ϕ(λ) = −1 +
n
i=1
1
λ + 1 − d i
.
Calculer ϕ et en déduire les variations de ϕ :
4.5.8
λ
−∞
d 1 − 1
λ1
d 2 − 1
λ2 . . . λn−1 d n − 1
λn + ∞
−1
+∞
+∞
+∞
ϕ(λ)
−∞
−∞
−∞
−1
. . .
On a donc :
d 1 − 1 < λ 1 < d 2 − 1 < . . . < λ n−1 < d n − 1 < λ n .
•
d 1 − 1 < λ 1
. . .
d n−1 − 1 < λ n−1
⇒
n−1
i=1
(d i − 1) <
n−1
i=1
λ i
⇐⇒
n
i=1
d i
− d n − (n − 1) <
n
i=1
λ i
− λ n
⇐⇒ tr (A) − d n − (n − 1) < tr(A) − λ n
⇐⇒ λ n < d n + (n − 1) .
a) Il est clair que ψ : E × E −→ R définie par
(x,y) = φ(a)φ(b)ϕ(x,y)
−
1
2
ϕ(a,b)(ϕ(a,x)ϕ(b,y) + ϕ(b,x)ϕ(a,y))
est une fbs sur E × E , et que est la fq associée à ψ.
b) • D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ϕ , on a, pour
tout x de E :
ϕ(a,b) 2 φ(a)φ(b) , (ϕ(a,x)) 2 φ(a)φ(x),
(ϕ(b,x)) 2 φ(b)φ(x) ,
d’où, par multiplication et puisque φ est positive :
ϕ(a,b)ϕ(a,x)ϕ(b,x) φ(a)φ(b)φ(x) .
Ainsi, est une fq positive.
• Soit x ∈ E tel que (x) = 0.
Supposons φ(x) > 0 . D’après les inégalités précédentes et
puisque φ(a) > 0 , φ(b) > 0 , φ(x) > 0 , on déduit
|ϕ(a,b)| = φ(a)φ(b), ce qui contredit la liberté de (a,b)
(cf. 4.2.1 Prop. 1 p. 138).
a) 1) Supposons φ positive. Comme φ = 0, il existe a ∈ E tel
que φ(a) = 0, donc tel que φ(a) > 0. Puisque :
∀ t ∈ R, φ(ta) = t 2 φ(a),
il en résulte φ(Ra) = R + et donc φ(E) = R + .
2) Réciproquement, si φ(E) = R + , alors φ(E) ⊂ R + , donc φ
est positive.
4.5.9
4.5.10