328
2) Soit A = (a i j ) i j ∈ Π n ∩ O n (R) . On a :
∀i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
a i j (1 − a i j ) =
n
j=1
a i j −
n
j=1
a 2
i j
= 1 − 1 = 0
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j (1 − a i j ) ∈ R +
d’où : ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j ∈ {0,1}.
Soit i ∈ {1,. . . ,n}.
Comme
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, a i j ∈ {0,1}
n
j=1
a i j = 1
,
il existe j ∈ {1,. . . ,n} unique tel que :
a i j = 1
∀k ∈ {1,. . . ,n} − { j}, a ik = 0
.
L’application σ : {1,. . . ,n} −→ {1,. . . ,n}
i −→ j
ainsi définie est injective car, si i 1 ,i 2 ∈ {1,. . . ,n} sont tels que i 1 = i 2 et
σ (i 1 ) = σ (i 2 ),
alors
n
i=1
a 2
iσ (i 1 ) a 2
i 1 σ (i 1 ) + a 2
i 2 σ (i 1 ) = 2 ,
ce qui contredit A ∈ O n (R) .
Ainsi, σ : {1,. . . ,n} −→ {1,. . . ,n} est injective, donc bijective,
et finalement : A ∈ Π n .
Supposons M ∈ O n+ p (R) et A ∈ O n (R) (par exemple, le cas
D ∈ O p (R) se traitant de façon analogue).
Un produit par blocs donne, à partir de t M M = I n+ p :
t A A + t CC = I n , t AB + t C D = 0,
t B A + t DC = 0, t B B + t D D = I p .
Puis : •
t A A = I n
t A A + t CC = I n
⇒ t CC = 0 ⇒ C = 0 ,
cf. ex. 4.2.3
•
C = 0
t AB + t C D = 0
⇒ t AB = 0 ⇒ B = 0 ,
car A ∈ GL n (R)
•
C = 0
t CC + t D D = I p
⇒ t D D = I p ⇐⇒ D ∈ O p (R) .
a) • t (AB) = t B t A = B(−A) = −B A = −AB ,
donc AB ∈ A n (R).
• t (AX)B X = t X t AB X = − t X (AB)X = 0 ,
car AB ∈ A n (R), cf. ex. 4.1.1.
b) ||(A + B)X|| 2 = ||AX|| 2 + 2 t (AX)B X + ||B X|| 2
= ||AX|| 2 + ||B X|| 2 ,
et de même : ||(A − B)X|| 2 = ||AX|| 2 + ||B X|| 2 .
c) • (A + B)X = 0 ⇐⇒ ||(A + B)X|| = 0
⇐⇒ ||(A − B)X|| = 0 ⇐⇒ (A − B)X = 0 ,
donc :
(A + B)X = 0
ou
(A − B)X = 0
⇒
(A + B)X = 0
(A − B)X = 0
⇒ B X = 0 ⇒ X = 0 .
Ceci montre que A + B et A − B sont inversibles.
• Notons Ω = (A + B)(A − B) −1 .
Comme A et B commutent, A + B et −A + B commutent,
d’où :
t ΩΩ = t (A − B)
−1 t (A + B)(A + B)(A − B)
−1
= (−A − B)
−1 (−A + B)(A + B)(A − B)
−1
= (A + B)
−1 (A + B)(A − B)(A − B)
−1 = I n .
• La linéarité de ϕ A est immédiate.
• Pour tout (X,Y ) de
M n,1 (R)
2 :
< ϕ A (X),Y > = tr ( t (ϕ A (X))Y ) = tr ( t A t X AY )
= tr (( t X AY ) t A) = tr ( t X (AY t A))
= < X,AY t A > = < X,ϕ t A (Y ) > .
Réponse : (ϕ A ) ∗ = ϕ t A .
Le sev F de E admet au moins une b.o.n. B 1 , et on peut compléter B 1 en une b.o.n. B de E . La matrice de f dans B est de
la forme
A B
O C
, où A = Mat B 1 (g).
En utilisant des produits par blocs, de f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ on déduit :
t A A = A t A + B t B, t AB = B t C, t B B + t CC = C t C ;
puis :
tr (B t B) = tr( t A A − A t A) = tr( t A A) − tr(A t A) = 0 ,
donc B = 0, et enfin t A A = A t A , c'est-à-dire :
g ∗ ◦ g = g ◦ g ∗ .
a) ϕ est continue sur le compact S, donc est bornée et atteint
ses bornes.
b) Soit θ ∈ R ;
comme ||cos θ x 0 + sin θ x 1 || 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1, on a :
ϕ(cos θ x 0 + sin θ x 1 ) ϕ(x 0 ),
d’où, en développant :
2 sin θ cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin 2 θ(< x 0 , f (x 0 ) > − < x 1 , f (x 1 ) >) .
On a donc :
∀θ ∈]0; π[, 2 cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin θ (< x 0 , f (x 0 ) > − < x 1 , f (x 1 ) >)
∀θ ∈] − π; 0[, 2 cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin θ (< x 0 , f (x 0 ) > .− < x 1 , f (x 1 ) >).
4.4.1
4.4.2
4.5.1
4.3.12
4.3.13
2) Soit A = (a i j ) i j ∈ Π n ∩ O n (R) . On a :
∀i ∈ {1,. . . ,n},
n
j=1
a i j (1 − a i j ) =
n
j=1
a i j −
n
j=1
a 2
i j
= 1 − 1 = 0
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j (1 − a i j ) ∈ R +
d’où : ∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , a i j ∈ {0,1}.
Soit i ∈ {1,. . . ,n}.
Comme
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, a i j ∈ {0,1}
n
j=1
a i j = 1
,
il existe j ∈ {1,. . . ,n} unique tel que :
a i j = 1
∀k ∈ {1,. . . ,n} − { j}, a ik = 0
.
L’application σ : {1,. . . ,n} −→ {1,. . . ,n}
i −→ j
ainsi définie est injective car, si i 1 ,i 2 ∈ {1,. . . ,n} sont tels que i 1 = i 2 et
σ (i 1 ) = σ (i 2 ),
alors
n
i=1
a 2
iσ (i 1 ) a 2
i 1 σ (i 1 ) + a 2
i 2 σ (i 1 ) = 2 ,
ce qui contredit A ∈ O n (R) .
Ainsi, σ : {1,. . . ,n} −→ {1,. . . ,n} est injective, donc bijective,
et finalement : A ∈ Π n .
Supposons M ∈ O n+ p (R) et A ∈ O n (R) (par exemple, le cas
D ∈ O p (R) se traitant de façon analogue).
Un produit par blocs donne, à partir de t M M = I n+ p :
t A A + t CC = I n , t AB + t C D = 0,
t B A + t DC = 0, t B B + t D D = I p .
Puis : •
t A A = I n
t A A + t CC = I n
⇒ t CC = 0 ⇒ C = 0 ,
cf. ex. 4.2.3
•
C = 0
t AB + t C D = 0
⇒ t AB = 0 ⇒ B = 0 ,
car A ∈ GL n (R)
•
C = 0
t CC + t D D = I p
⇒ t D D = I p ⇐⇒ D ∈ O p (R) .
a) • t (AB) = t B t A = B(−A) = −B A = −AB ,
donc AB ∈ A n (R).
• t (AX)B X = t X t AB X = − t X (AB)X = 0 ,
car AB ∈ A n (R), cf. ex. 4.1.1.
b) ||(A + B)X|| 2 = ||AX|| 2 + 2 t (AX)B X + ||B X|| 2
= ||AX|| 2 + ||B X|| 2 ,
et de même : ||(A − B)X|| 2 = ||AX|| 2 + ||B X|| 2 .
c) • (A + B)X = 0 ⇐⇒ ||(A + B)X|| = 0
⇐⇒ ||(A − B)X|| = 0 ⇐⇒ (A − B)X = 0 ,
donc :
(A + B)X = 0
ou
(A − B)X = 0
⇒
(A + B)X = 0
(A − B)X = 0
⇒ B X = 0 ⇒ X = 0 .
Ceci montre que A + B et A − B sont inversibles.
• Notons Ω = (A + B)(A − B) −1 .
Comme A et B commutent, A + B et −A + B commutent,
d’où :
t ΩΩ = t (A − B)
−1 t (A + B)(A + B)(A − B)
−1
= (−A − B)
−1 (−A + B)(A + B)(A − B)
−1
= (A + B)
−1 (A + B)(A − B)(A − B)
−1 = I n .
• La linéarité de ϕ A est immédiate.
• Pour tout (X,Y ) de
M n,1 (R)
2 :
< ϕ A (X),Y > = tr ( t (ϕ A (X))Y ) = tr ( t A t X AY )
= tr (( t X AY ) t A) = tr ( t X (AY t A))
= < X,AY t A > = < X,ϕ t A (Y ) > .
Réponse : (ϕ A ) ∗ = ϕ t A .
Le sev F de E admet au moins une b.o.n. B 1 , et on peut compléter B 1 en une b.o.n. B de E . La matrice de f dans B est de
la forme
A B
O C
, où A = Mat B 1 (g).
En utilisant des produits par blocs, de f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ on déduit :
t A A = A t A + B t B, t AB = B t C, t B B + t CC = C t C ;
puis :
tr (B t B) = tr( t A A − A t A) = tr( t A A) − tr(A t A) = 0 ,
donc B = 0, et enfin t A A = A t A , c'est-à-dire :
g ∗ ◦ g = g ◦ g ∗ .
a) ϕ est continue sur le compact S, donc est bornée et atteint
ses bornes.
b) Soit θ ∈ R ;
comme ||cos θ x 0 + sin θ x 1 || 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1, on a :
ϕ(cos θ x 0 + sin θ x 1 ) ϕ(x 0 ),
d’où, en développant :
2 sin θ cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin 2 θ(< x 0 , f (x 0 ) > − < x 1 , f (x 1 ) >) .
On a donc :
∀θ ∈]0; π[, 2 cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin θ (< x 0 , f (x 0 ) > − < x 1 , f (x 1 ) >)
∀θ ∈] − π; 0[, 2 cos θ < x 1 , f (x 0 ) >
sin θ (< x 0 , f (x 0 ) > .− < x 1 , f (x 1 ) >).
4.4.1
4.4.2
4.5.1
4.3.12
4.3.13