300
⇐⇒

     
     
aS = (λ + a)x 1
bx 1 − ax 2 = λ(x 2 − x 1 )
. . .
bx n−1 − ax n = λ(x n − x n−1 )
bS = (λ + b)x n
⇐⇒

     
     
(λ + a)x 1 = aS
(λ + a)x 2 = (λ + b)x 1
. . .
(λ + a)x n = (λ + b)x n−1
bS = (λ + b)x n
.
Si
λ + a = 0
λ + b = 0
, alors, en notant ζ =
λ + b
λ + a
:
AX = λX ⇐⇒

     
     
x 2 = ζ x 1
. . .
x n = ζ n−1 x 1
(λ + a)x 1 = aS
bS = (λ + b)ζ n−1 x 1
.
Montrer :
(λ + a)x 1 = aS
bS = (λ + b)ζ n−1 x 1
⇐⇒ ζ n =
b
a
.
En déduire que, si a = b, A admet pour vp les n complexes
au k − b
1 − u k
, où les u k (0 k n − 1) sont les racines n `
emes
de
b
a
.
Si a = b, alors : AX = λX ⇐⇒
λ = −a
S = 0
ou
x 1 = . . . = x n
λ = (n − 1)a
.
Réponse :
1) Si (a = 0, b = 0 , a = b) :
• Sp C (A) =
au k − b
1 − u k
; k ∈ {0,. . . ,n − 1}
où les u k
(0 k n − 1) sont les racines n `
emes de
b
a
dans C
• Pour tout k de {0,. . . ,n − 1}, SEP
A,
au k − b
1 − u k
est la droite
vectorielle engendrée par





1
u k
. . .
u
n−1
k





2) Si a = b = 0 :
• Sp C (A) = {−a,(n − 1)a}
• SEP(A,−a) est l'hyperplan d'équation x 1 + . . . + x n = 0
• SEP(A,(n − 1)a) est la droite vectorielle engendrée par



1
1



3) Si (a = 0, b = 0) :
• Sp C (A) = {0}
• SEP(A,0) est la droite vectorielle engendrée par





1
0
0





4) Si (a = 0,b = 0) :
• Sp C (A) = {0}
• SEP(A,0) est la droite vectorielle engendrée par





0
0
1





5) Si a = b = 0 :
• Sp C (A) = {0}
• SEP(A,0) = M n,1 (C).
b) Réponse : ab = 0 ou a = b = 0 .
Obtenir le polynôme caractéristique :
χ A (λ) = (−1) n (λ 2 − αλ − (a 2 b 2 + . . . + a n b n ))λ n−2 .
En particulier, 0 est vp de A.
On a, pour tout X =



x 1
. . .
x n


 de M n,1 (C) :
AX = 0 ⇐⇒
αx 1 + b 2 x 2 + . . . + b n x n = 0
a 2 x 1 = . . . = a n x 1 = 0
.
Discuter la dimension de SEP(A,0) (c'est-à-dire Ker(A)).
Réponse :

  
  
(a 2 ,. . . ,a n ) = (0,. . . ,0)
(b 2 ,. . . ,b n ) = (0,. . . ,0)
a 2 b 2 + . . . + a n b n = 0
α 2 + 4(a 2 b 2 + . . . + a n b n ) = 0
ou



(a 2 ,. . . ,a n ) = (0,. . . ,0)
(b 2 ,. . . ,b n ) = (0,. . . ,0)
α = 0
ou



(a 2 ,. . . ,a n ) = (0,. . . ,0)
(b 2 ,. . . ,b n ) = (0,. . . ,0)
α = 0
ou
(a 2 ,. . . ,a n ) = (0,. . . ,0)
(b 2 ,. . . ,b n ) = (0,. . . ,0)
.
Réponse : P D P −1 , où :
a) P =
I n I n
−I n I n
, D =
0 0
0 ∆
,
P −1 =
1
2
I n −I n
I n
I n
, où ∆ =






2
4
0
. . .
0
2n






3.3.4
3.3.5