292
⇐⇒
x 1 + . . . + x n = nx 1
. . .
x 1 + . . . + x n = nx n
⇐⇒ x 1 = . . . = x n .
Donc dim(Ker(A)) = 1 , rg(A) = n − 1 .
2) D’après l’exercice 2.9.1, on a donc rg(com(A)) = 1 .
En notant B =
1
1
1
1
1
∈ M n (K ) , on a clairement
AB = B A = 0 .
D’après l’exercice 2.9.3, il existe δ ∈ K tel que t com(A) = δ B .
Autrement dit, tous les termes de com(A) sont égaux. Le
(1,1) `
eme terme de com(A) est :
1 − n 1
1 1 − n
[n−1]
=
−1
1
1
1 − n
1
−1
1
1 − n
[n−1]
par C 1 − C 1 + . . . + C n−1
c) Par différence entre les 1 `
ere et 3 `
eme équations,
déduire : m(x + 2y + z) = 0 . Si m = 0 , le système se ramène
à :
z = −x − 2y
(2m + 5)x + (m + 3)y = m − 1
x + y = −m − 1.
Tirer y et reporter.
Réponse :
m 2 + 5m + 2
m + 2
,−
2m 2 + 8m + 4
m + 2
,
3m 2 + 11m + 6
m + 2
si m = 0 et m = −2
∅ si m = −2
x,−x − 1,
7x + 8
5
; x ∈ C
si m = 0.
d) Réponse :
m,1,
1
m
si m ∈ {−1,0,1,−i,i}
{(−1,y,−y); y ∈ C} si m = −1
∅
si m = 0
{(1,y,y); y ∈ C}
si m = 1
{(x,−ix,−i); x ∈ C} si m = i
{(x,ix,i); x ∈ C}
si m = −i.
e) Réponse :
∅
si a + b = 3
{(2 − a,y,y + 5 − 3a); y ∈ C} si a + b = 3.
f) Par soustraction d’équations, le système se ramène à :
ax + (b − 1)y + 2z = 1
(b − 2)y + z = 0
bz = 2b − 4
.
Réponse :
−
b − 6
ab
,−
2
b
,
2b − 4
b
si b = 0, b = 2, a = 0
{(x,1 − ax,0); x ∈ C}
si b = 2
x,−
1
3
,
4
3
; x ∈ C
si a = 0, b = 6
∅
sinon.
g) Le système formé par les 3 premières équations admet une
solution et une seule, (2,2a − 2,2a) . Reporter dans la 4 `
eme .
Réponse :
∅
si a = b
{(2,2a − 2,2a)} si a = b.
Les trois plans considérés contiennent une même droite vectorielle si et seulement si le système linéaire
(1 − m)x − 2y + z = 0
3x − (1 + m)y − 2z = 0
3x − 2y − (1 + m)z = 0
2.10.2
−→
=
−1 1
1
0 −n
0
❜
0
0
−n
[n−1]
par L i
L i − L 1 pour i 2
= (−1) n−1 n n−2
Réponse : com(A) = (−1) n−1 n n−2
1
1
1
1
1
.
a) Par exemple, en tirant z de la 1 `
ere équation et en
reportant, le système équivaut à :
z = 2x + 3y + 1
7x + 11y + 1 = 0
Réponse :
x, −
7x + 1
11
,
x + 8
11
; x ∈ C
.
b) En tirant z de la 2 `
eme équation, le système se ramène à :
z = −mx − y + 1
(m − 1)((2m + 1)x + 2(m − 1)y − 2(m − 1)) = 0.
(1 − m)x + (m − 1)y − 3m − 2 = 0
Si m = 1 , tirer y =
(−2m − 1)x + 2
2
et reporter dans la 3 `
eme
équation.
Réponse :
−
2
m − 1
,
3m
m − 1
, −
1
m − 1
si m = −
3
2
et m = 1
x, x + 1,
x
2
; x ∈ C
si m = −
3
2
∅
si m = 1.
2.10.1
⇐⇒
x 1 + . . . + x n = nx 1
. . .
x 1 + . . . + x n = nx n
⇐⇒ x 1 = . . . = x n .
Donc dim(Ker(A)) = 1 , rg(A) = n − 1 .
2) D’après l’exercice 2.9.1, on a donc rg(com(A)) = 1 .
En notant B =
1
1
1
1
1
∈ M n (K ) , on a clairement
AB = B A = 0 .
D’après l’exercice 2.9.3, il existe δ ∈ K tel que t com(A) = δ B .
Autrement dit, tous les termes de com(A) sont égaux. Le
(1,1) `
eme terme de com(A) est :
1 − n 1
1 1 − n
[n−1]
=
−1
1
1
1 − n
1
−1
1
1 − n
[n−1]
par C 1 − C 1 + . . . + C n−1
c) Par différence entre les 1 `
ere et 3 `
eme équations,
déduire : m(x + 2y + z) = 0 . Si m = 0 , le système se ramène
à :
z = −x − 2y
(2m + 5)x + (m + 3)y = m − 1
x + y = −m − 1.
Tirer y et reporter.
Réponse :
m 2 + 5m + 2
m + 2
,−
2m 2 + 8m + 4
m + 2
,
3m 2 + 11m + 6
m + 2
si m = 0 et m = −2
∅ si m = −2
x,−x − 1,
7x + 8
5
; x ∈ C
si m = 0.
d) Réponse :
m,1,
1
m
si m ∈ {−1,0,1,−i,i}
{(−1,y,−y); y ∈ C} si m = −1
∅
si m = 0
{(1,y,y); y ∈ C}
si m = 1
{(x,−ix,−i); x ∈ C} si m = i
{(x,ix,i); x ∈ C}
si m = −i.
e) Réponse :
∅
si a + b = 3
{(2 − a,y,y + 5 − 3a); y ∈ C} si a + b = 3.
f) Par soustraction d’équations, le système se ramène à :
ax + (b − 1)y + 2z = 1
(b − 2)y + z = 0
bz = 2b − 4
.
Réponse :
−
b − 6
ab
,−
2
b
,
2b − 4
b
si b = 0, b = 2, a = 0
{(x,1 − ax,0); x ∈ C}
si b = 2
x,−
1
3
,
4
3
; x ∈ C
si a = 0, b = 6
∅
sinon.
g) Le système formé par les 3 premières équations admet une
solution et une seule, (2,2a − 2,2a) . Reporter dans la 4 `
eme .
Réponse :
∅
si a = b
{(2,2a − 2,2a)} si a = b.
Les trois plans considérés contiennent une même droite vectorielle si et seulement si le système linéaire
(1 − m)x − 2y + z = 0
3x − (1 + m)y − 2z = 0
3x − 2y − (1 + m)z = 0
2.10.2
−→
=
−1 1
1
0 −n
0
❜
0
0
−n
[n−1]
par L i
L i − L 1 pour i 2
= (−1) n−1 n n−2
Réponse : com(A) = (−1) n−1 n n−2
1
1
1
1
1
.
a) Par exemple, en tirant z de la 1 `
ere équation et en
reportant, le système équivaut à :
z = 2x + 3y + 1
7x + 11y + 1 = 0
Réponse :
x, −
7x + 1
11
,
x + 8
11
; x ∈ C
.
b) En tirant z de la 2 `
eme équation, le système se ramène à :
z = −mx − y + 1
(m − 1)((2m + 1)x + 2(m − 1)y − 2(m − 1)) = 0.
(1 − m)x + (m − 1)y − 3m − 2 = 0
Si m = 1 , tirer y =
(−2m − 1)x + 2
2
et reporter dans la 3 `
eme
équation.
Réponse :
−
2
m − 1
,
3m
m − 1
, −
1
m − 1
si m = −
3
2
et m = 1
x, x + 1,
x
2
; x ∈ C
si m = −
3
2
∅
si m = 1.
2.10.1