Soit M ∈ E − {0} . D’après l’étude précédente, det(M) = 0 ,
et donc M ∈ GL 3 (Q) .
L’application f : E −→ E
N −→ M N
est linéaire, injective (puisque
M est inversible dans GL 3 (Q)) , et E est de dimension finie,
donc f est bijective.
Comme I 3 ∈ E, il existe donc N ∈ E telle que M N = I 3 , c’està-dire : M −1 ∈ E .
a)



abc < 0
de f < 0
ghk < 0
⇒ abcde f ghk < 0 ,
et



adg > 0
beh > 0
c f k > 0
⇒ abcde f ghk > 0 .
b)



aeh > 0
b f g > 0
cdh > 0
⇒ abcde f ghk > 0 ,
et



−ceg > 0
−a f h > 0
−bdk > 0
⇒ abcde f ghk < 0 .
Remarquer d’abord que f est linéaire.
Rappelons que S n (R) (ensemble des matrices symétriques
réelles d’ordre n ) et A n (R) (ensemble des matrices antisymétriques réelles d’ordre n ) sont deux sev supplémentaires dans
M n (R) (cf. Algèbre PCSI-PTSI 8.3.1 2) Prop. 2).
Dans une base de M n (R) formée d’une base de S n (R) suivie
d’une base de A n (R) , la matrice de f est :








1
0
1
−1
0
−1








,
d’où : det( f ) = (−1) dim(A n (R)) = (−1)
n(n−1)
2 .
On pouvait remarquer au départ que, puisque f est une involution : ( det( f )) 2 = det( f 2 ) = 1 .
Réponse : (−1)
n(n−1)
2 .
a)
289
La dernière colonne se décompose :







(1 + x) − x
(1 + x) 2 − x 2
. . .
(1 + x) p − x p
(1 + x) p+1 − x p+1







=









1
1 + 2x
1 + 3x + 3x 2
. . .
p
k=0
C
k
p+1 x
k









=







1
1







+ x







0
2
3
. . .
C
1
p+1







+ . . .
+x
p−1







0
0
C
p−1
p
C
p−1
p+1







+ x
p






0
0
C
p
p+1






,
d’où, par multilinéarité et alternance :
2.7.3
2.7.4
2.7.5
ϕ p (x + 1) − ϕ p (x) =
=
1 0
0
. . . . . .
(1 + x) – x
2
0
. . . . . .
(1 + x)
2
− x
2
3
3
. . .
. . .
. . .
C
p−1
p
(1 + x) p − x p
1 C
1
p+1 C
2
p+1 . . . C
p−1
p+1 (1 + x) p+1 − x p+1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ϕ p (x + 1) − ϕ p (x)
=
1
0
0
0
2
0
0
3
3
. . .
. . .
C
p−1
p
0
1 C
1
p+1 C
2
p+1 . . . C
p−1
p+1 C
p
p+1 x p
. . . . . . . . .
Réponse : ( p + 1)!x p .
b) ϕ p (n + 1) − ϕ p (n) = ( p + 1)!n p
ϕ p (n) − ϕ p (n − 1) = ( p + 1)!(n − 1) p
. . .
ϕ p (2) − ϕ p (1)
= ( p + 1)!1 p
ϕ p (1)
= 0
ϕ p (n + 1)
= ( p + 1)!
n
k=1
k
p .
c) 1)
n
k=1
k =
1
2!
ϕ 1 (n + 1)
=
1
2
1
n + 1
1 (n + 1) 2
=
n(n + 1)
2
.
2)
n
k=1
k 2 =
1
3!
ϕ 2 (n + 1) =
1
6
1 0
n + 1
1 2 (n + 1) 2
1 3 (n + 1) 3
=
n + 1
6
1 0
0
1 2
n
1 3 n 2 + 2n
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
3)
n
k=1
k 3 =
1
4!
ϕ 3 (n + 1) =
1
24
1 0 0
n + 1
1 2 0 (n + 1) 2
1 3 3 (n + 1) 3
1 4 6 (n + 1) 4
=
n + 1
24
1 0 0
0
1 2 0
n
1 3 3
n 2 + 2n
1 4 6 n 3 + 3n 2 + 3n