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On a :
rg( f + g) = dim(Im( f + g)) dim(Im( f ) + Im(g))
= rg( f ) + rg(g) − dim(Im( f ) ∩ Im(g))
rg( f ) + rg(g) = rg( f + g) .
Les inégalités précédentes sont donc toutes des égalités.
Il en résulte :
Im( f ) ∩ Im(g) = {0} et Im( f ) + Im(g) = Im( f + g).
(ii) ⇒ (iii)
On suppose :
Im( f ) + Im(g) = Im( f + g) et Im( f ) ∩ Im(g) = {0} .
Il est clair que (sans hypothèse sur f et g) :
Ker( f ) ∩ Ker(g) ⊂ Ker( f + g).
On a :
dim(Ker( f + g)) = dim(E) − dim(Im( f + g))
= dim(E) − dim(Im( f ) ⊕ Im(g))
= dim(E) − dim(Im( f )) − dim(Im(g))
= dim(Ker( f )) + dim(Ker(g)) − dim(E)
= dim(Ker( f ) + Ker(g))
+ dim(Ker( f ) ∩ Ker(g)) − dim(E),
d'où :
0 dim(Ker( f + g)) − dim(Ker( f ) ∩ Ker(g))
= dim(Ker( f ) + Ker(g)) − dim(E) 0 .
Les inégalités précédentes sont donc toutes des égalités.
Il en résulte :
Ker( f + g) = Ker( f ) ∩ Ker(g) et Ker( f ) + Ker(g) = E.
(iii) ⇒ (i)
On suppose : Ker( f ) + Ker(g) = E
et
Ker( f ) ∩ Ker(g) = Ker( f + g).
On a :
rg( f + g) = dim(E) − dim(Ker( f + g))
= dim(E) − dim(Ker( f ) ∩ Ker(g))
= dim(E) − dim(Ker( f )) − dim(Ker(g))
+ dim(Ker( f ) + Ker(g))
= (dim(E) − dim(Ker( f )))
+(dim(E)−dim(Ker(g)))
= rg( f ) + rg(g).
(ii) ⇒ (iv)
On suppose :
Im( f ) + Im(g) = Im( f + g)
et Im( f ) ∩ Im(g) = {0} ; on a donc (cf. ci-dessus) :
Ker( f ) + Ker(g) = E et Ker( f ) ∩ Ker(g) = Ker( f + g) .
Notons n = dim(F), p = dim(E), r = rg( f ), s = rg(g) .
Le sev Im( f ) de F admet au moins une base C 1 = ( f 1 ,. . . , f r )
et le sev Im(g) de F admet au moins une base
C 2 = ( f r+1 ,. . . , f r+s ) .
Comme Im( f ) ∩ Im(g) = {0} , C 1 ∪ C 2 est libre.
D'après le théorème de la base incomplète, il existe
C 3 = ( f r+s+1 ,. . . , f n ) ∈ F n−r−s
tel que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 soit une base de F .
• Soit i ∈ {1,. . . ,r} . Il existe x i ∈ E tel que f i = f (x i ),
puis, comme E = Ker( f ) + Ker(g) , il existe u i ∈ Ker( f ) et
e i ∈ Ker(g) tels que x i = u i + e i . On a alors :
e i ∈ Ker(g) et f (e i ) = f (x i ) = f i .
Notons B 1 = (e 1 ,. . . ,e r ).
• Soit i ∈ {r + 1,. . . ,r + s} . Il existe x i ∈ E tel que
f i = g(x i ) , puis il existe e i ∈ Ker( f ) , v i ∈ Ker(g) tels que
x i = e i + v i . On a alors :
e i ∈ Ker( f ) et g(e i ) = g(x i ) = f i .
Notons B 2 = (e r+1 ,. . . ,e r+s ).
Comme
dim (Ker ( f ) ∩ Ker(g)) = dim (Ker ( f + g))
= p − rg( f + g) = p − r − s , le sev Ker ( f ) ∩ Ker (g)
de E admet au moins une base B 3 = (e r+s+1 ,. . . ,e p ).
Montrons que B = B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 est une base de E .
Soit (λ 1 ,. . . ,λ p ) ∈ K p tel que
p
i=1
λ i e i = 0.
En appliquant f et g, on obtient :
0 =
p
i=1
λ i f (e i ) =
r
i=1
λ i f i et 0 =
p
i=1
λ i g(e i ) =
r+s
i=r+1
λ i f i ,
d'où λ i = 0 pour tout i de {1,. . . ,r + s} .
Alors
p
i=r+s+1
λ i e i = 0 et donc (puisque C 3 est libre) λ i = 0
pour tout i de {r + s + 1,. . . ,p} .
Ainsi, B est libre dans E et a p éléments, donc B est une
base de E .
Il est clair que, par construction :
Mat B,C ( f ) =


I r 0 0
0 0 0
0 0 0


et Mat C,B (g) =


0 0 0
0 I s 0
0 0 0

 .
(iv) ⇒ (i) : Immédiat.
Chapitre 2
τ 13 ◦ τ 12 (2) = 3 et τ 12 ◦ τ 13 (2) = 1,
donc τ 13 ◦ τ 12 = τ 12 ◦ τ 13 .
2.1.1