Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Exercice-type résolu 4
Étude du noyau et de l'image de A + B pour (A,B) ∈ (S +
n )
2
a) Soient n ∈ N
∗
, A ∈ S
+
n .
Montrer :
1) pour tout X ∈ M n,1 (R),
t X AX = 0 ⇐⇒ AX = 0
2) Im (A) =
Ker (A)
⊥ .
b) Soient A,B ∈ S
+
n . Montrer :
1) Ker (A + B) = Ker (A) ∩ Ker (B)
2) Im (A + B) = Im (A) + Im (B).
c) En déduire que, en notant V n l'ensemble des sev de M n,1 (R), les applications
Ker : S
+
n −→ V n
A −→ Ker (A)
et
Im : S
+
n −→ V n
A −→ Im (A)
sont respectivement décroissante et croissante, lorsqu'on munit S
+
n de l'ordre défini par :
∀ (A,B) ∈ (S
+
n )
2 ,
A B ⇐⇒ B − A ∈ S
+
n )
et que l'on munit V n de l'inclusion.
Conseils
Existence de la racine carrée d'une matrice
symétrique positive, cf. exercice 4.5.62 p. 184.
Faire intervenir la norme euclidienne usuelle ||.|| 2 dans M n,1 (R).
t A vérifie la même hypothèse que A, car :
t
A +
t
(
t
A) =
t
A + A = A +
t
A ∈ S
+
n .
Solution
Notons S = A +
t
A ∈ S
+
n .
1) Soit X ∈ Ker (A), c'est-à-dire AX = 0.
On a :
t
X S X =
t
X (A +
t
A)X =
t
X AX +
t
X
t
AX =
t
X (AX) +
t
(AX)X = 0.
D'après un exercice classique, puisque S ∈ S
+
n , il existe R ∈ S
+
n telle que R
2
= S.
On a alors :
0 =
t
X S X =
t
X R
2 X = (
t
X
t
R)(R X) =
t
(R X)(R X) = ||R X||
2
2 ,
d'où R X = 0, puis S X = R
2 X = R(R X) = R0 = 0.
Ensuite :
t
AX = (A +
t
A)X − AX = 0 − 0 = 0,
et donc X ∈ Ker (
t
A).
Ceci montre : Ker (A) ⊂ Ker (
t
A).
2) En appliquant le résultat précédent à
t
A , on obtient :
Ker (
t
A) ⊂ Ker (
tt
A) = Ker (A).
On conclut :
Ker (
t
A) = Ker (A).