Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
100
Corollaire
1) Soit E un C-ev de dimension finie 1. Tout endomorphisme de E est trigonalisable.
2) Toute matrice carrée de M n (C) (n 1) est trigonalisable.
Preuve
D'après le théorème de d'Alembert, χ f (ou χ A ) est scindé sur C , donc (théorème précédent) f (ou A) est
trigonalisable.
Exemples de trigonalisation de matrices carrées d'ordre 3
Soit A ∈ M 3 (K ). Si χ A est scindé sur K, alors A est trigonalisable, c'est-à-dire qu'il existe
P ∈ GL 3 (K ) et T ∈ T 3,s (K ) telles que A = PT P −1 . Nous allons, sur des exemples, montrer
comment trouver un tel couple (P,T ) .
Supposons A non diagonalisable et χ A scindé sur K. Alors :
• ou bien A admet une vp double λ 1 et une vp simple λ 2
• ou bien A admet une vp triple λ 1 .
Notons B 0 = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de M 3,1 (K ) et f l'endomorphisme de M 3,1 (K ) tel
que Mat B 0 ( f ) = A.
Exemple 1 :
Trigonaliser A =
5 −17 25
2 −9 16
1
−5
9
∈ M 3 (R) .
Formons le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
5 − λ
−17
25
2
−9 − λ
16
1
−5
9− λ
= −λ 3 + 5λ 2 − 8λ + 4
= −(λ − 2) 2 (λ − 1).
Donc χ A est scindé sur R et les vp de A sont 2 (double) et 1 (simple).
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
3x − 17y + 25z = 0
2x − 11y + 16z = 0
x − 5y + 7z = 0
⇐⇒
x = 5y − 7z
y = 2z
⇐⇒
x = 3z
y = 2z
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
3
2
1
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,1) ⇐⇒
4x − 17y + 25z = 0
2x − 10y + 16z = 0
x − 5y + 8z = 0
⇐⇒
x = 5y − 8z
3y − 7z = 0
⇐⇒
3x = 11z
3y = 7z
.
Donc SEP(A,1) est de dimension 1 et admet pour base (V 3 ) où V 3 =
11
7
3
.
Cherchons un vecteur V 2 =
x
y
z
de façon que B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit une base de M 3,1 (R)
et que Mat B ( f ) soit triangulaire supérieure : Mat B ( f ) =
2 • 0
0 2 0
0 0 1
.
Résultat utile en pratique.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.4 Th.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Après développement.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque 2 est valeur propre double
de A et que dim (SEP (A,2)) = 1 ,
A n’est pas diagonalisable.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On cherche V 2 par ses coordonnées
dans la base canonique B 0 de
M 3,1 (R).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
100
Corollaire
1) Soit E un C-ev de dimension finie 1. Tout endomorphisme de E est trigonalisable.
2) Toute matrice carrée de M n (C) (n 1) est trigonalisable.
Preuve
D'après le théorème de d'Alembert, χ f (ou χ A ) est scindé sur C , donc (théorème précédent) f (ou A) est
trigonalisable.
Exemples de trigonalisation de matrices carrées d'ordre 3
Soit A ∈ M 3 (K ). Si χ A est scindé sur K, alors A est trigonalisable, c'est-à-dire qu'il existe
P ∈ GL 3 (K ) et T ∈ T 3,s (K ) telles que A = PT P −1 . Nous allons, sur des exemples, montrer
comment trouver un tel couple (P,T ) .
Supposons A non diagonalisable et χ A scindé sur K. Alors :
• ou bien A admet une vp double λ 1 et une vp simple λ 2
• ou bien A admet une vp triple λ 1 .
Notons B 0 = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique de M 3,1 (K ) et f l'endomorphisme de M 3,1 (K ) tel
que Mat B 0 ( f ) = A.
Exemple 1 :
Trigonaliser A =
5 −17 25
2 −9 16
1
−5
9
∈ M 3 (R) .
Formons le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
5 − λ
−17
25
2
−9 − λ
16
1
−5
9− λ
= −λ 3 + 5λ 2 − 8λ + 4
= −(λ − 2) 2 (λ − 1).
Donc χ A est scindé sur R et les vp de A sont 2 (double) et 1 (simple).
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
3x − 17y + 25z = 0
2x − 11y + 16z = 0
x − 5y + 7z = 0
⇐⇒
x = 5y − 7z
y = 2z
⇐⇒
x = 3z
y = 2z
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
3
2
1
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,1) ⇐⇒
4x − 17y + 25z = 0
2x − 10y + 16z = 0
x − 5y + 8z = 0
⇐⇒
x = 5y − 8z
3y − 7z = 0
⇐⇒
3x = 11z
3y = 7z
.
Donc SEP(A,1) est de dimension 1 et admet pour base (V 3 ) où V 3 =
11
7
3
.
Cherchons un vecteur V 2 =
x
y
z
de façon que B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) soit une base de M 3,1 (R)
et que Mat B ( f ) soit triangulaire supérieure : Mat B ( f ) =
2 • 0
0 2 0
0 0 1
.
Résultat utile en pratique.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.4 Th.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Après développement.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque 2 est valeur propre double
de A et que dim (SEP (A,2)) = 1 ,
A n’est pas diagonalisable.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On cherche V 2 par ses coordonnées
dans la base canonique B 0 de
M 3,1 (R).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier