2
Introduction
chapitre, certains ont été placés dans d’autres chapitres ;l’indexpermet de les retrouver.Ensuite,
on achoisi de privilégier la notion de conditionnement car les résolutions de systèmes linéaires
peuvent conduire àdegrosses erreurs numériques. Les exercices proposés permettent de constater
que le conditionnement est une notionoriginale qui n’a rien àvoir avec les notions de déterminant
ou de valeur propre.
Le chapitre 4est consacré àl’interpolation ou comment faire passer une courbe par des données
mesurées.Lapremière réponse est donnée par l’interpolant de Lagrange. Mais le phénomène de
Rungemontre qu’en plus de passer par les points, le cahier des charges peut aussi imposer une
approximation convenable pour les autres points (lorsqu’on part d’une fonction échantillonnée
par exemple). Ce chapitre propose donc une étude des splines cubiques qui répond mieux àcette
question.
Dans le chapitre 5, une étude d’erreur est proposée. Il s’agit d’une notion essentielleenanalyse
numérique où, traditionnellement,l ap remière étape est de montrer l’existence d’une solution
unique àunproblème sans forcément savoir la calculer,puis, la seconde de construire un problème
approché dont la solution est cettef ois-ci calculable ;p our finir on majore l’erreur entre les
solutions exacte et approchée. Dans certains cas particuliers, les deux solutions peuvent être
calculées. L’erreur est connue exactement ;onpeut alors mesurer si la majoration est optimale.
Matlab permet ainsi d’estimer l’ordred’une méthode.
Dans le chapitre 6, nous répondons àlaquestion :comment approcher des données mesurées
par une courbe ?Lanotion est différente de celle de l’interpolation et on se gardera donc de les
confondre.Comme les mesures ne sont pas toujours linéaires, on verra qu’au delà de la régression
linéaire,différentes bases peuvent être utilisées.
S’ajoute un chapitre,m oins classique dans les cours d’analyse numérique, sur les courbes
de Bézier et les polynômes de Bernstein, introduction au dessin et àlaconception assistés par
ordinateur (DAO,CAO). Le cours yest proposé sous forme d’exercices.
Dans la suite, d’autres outils traditionnelsdel’analyse numérique sont abordés :méthodes pour
leséquations différentielles ou méthodes élémentaires pour les équations aux dérivées partielles.
Encore unefois, la présentation est loin d’être exhaustive.Aucontraire, elle se propose de mettre
en avant quelques problèmes théoriques ou numériques.
Enfin, dans le dernier chapitre, on trouvera des problèmes qui combinent souvent plusieurs des
techniques proposées précédemment.
La plupartdeces exercices ont été testés par les étudiants de l’Insa de Rennes. La majorité est
mêmeextraitedes sujets d’examens qu’on peut réaliser en deux heures avec un peu d’entraînement.
Je remercie mesc ollègues de l’INSA de Rennes qui ont participé àl ’élaboration ou àl a
correction d’une bonne partie de ces exercices.
Introduction
chapitre, certains ont été placés dans d’autres chapitres ;l’indexpermet de les retrouver.Ensuite,
on achoisi de privilégier la notion de conditionnement car les résolutions de systèmes linéaires
peuvent conduire àdegrosses erreurs numériques. Les exercices proposés permettent de constater
que le conditionnement est une notionoriginale qui n’a rien àvoir avec les notions de déterminant
ou de valeur propre.
Le chapitre 4est consacré àl’interpolation ou comment faire passer une courbe par des données
mesurées.Lapremière réponse est donnée par l’interpolant de Lagrange. Mais le phénomène de
Rungemontre qu’en plus de passer par les points, le cahier des charges peut aussi imposer une
approximation convenable pour les autres points (lorsqu’on part d’une fonction échantillonnée
par exemple). Ce chapitre propose donc une étude des splines cubiques qui répond mieux àcette
question.
Dans le chapitre 5, une étude d’erreur est proposée. Il s’agit d’une notion essentielleenanalyse
numérique où, traditionnellement,l ap remière étape est de montrer l’existence d’une solution
unique àunproblème sans forcément savoir la calculer,puis, la seconde de construire un problème
approché dont la solution est cettef ois-ci calculable ;p our finir on majore l’erreur entre les
solutions exacte et approchée. Dans certains cas particuliers, les deux solutions peuvent être
calculées. L’erreur est connue exactement ;onpeut alors mesurer si la majoration est optimale.
Matlab permet ainsi d’estimer l’ordred’une méthode.
Dans le chapitre 6, nous répondons àlaquestion :comment approcher des données mesurées
par une courbe ?Lanotion est différente de celle de l’interpolation et on se gardera donc de les
confondre.Comme les mesures ne sont pas toujours linéaires, on verra qu’au delà de la régression
linéaire,différentes bases peuvent être utilisées.
S’ajoute un chapitre,m oins classique dans les cours d’analyse numérique, sur les courbes
de Bézier et les polynômes de Bernstein, introduction au dessin et àlaconception assistés par
ordinateur (DAO,CAO). Le cours yest proposé sous forme d’exercices.
Dans la suite, d’autres outils traditionnelsdel’analyse numérique sont abordés :méthodes pour
leséquations différentielles ou méthodes élémentaires pour les équations aux dérivées partielles.
Encore unefois, la présentation est loin d’être exhaustive.Aucontraire, elle se propose de mettre
en avant quelques problèmes théoriques ou numériques.
Enfin, dans le dernier chapitre, on trouvera des problèmes qui combinent souvent plusieurs des
techniques proposées précédemment.
La plupartdeces exercices ont été testés par les étudiants de l’Insa de Rennes. La majorité est
mêmeextraitedes sujets d’examens qu’on peut réaliser en deux heures avec un peu d’entraînement.
Je remercie mesc ollègues de l’INSA de Rennes qui ont participé àl ’élaboration ou àl a
correction d’une bonne partie de ces exercices.