Corrigés desexercices
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de − 4à4i ndépendamment de n pour les abscisses de Tchebychev et ad es extrema tendant
vers l’infiniavec n pour les points équidistants.
7. Dèsq ue l’on interpole un polynôme p de degré inférieur ou égal à n en n +1points, le
polynôme de Lagrange coïncide avec p ,par unicité et donc les dérivées coïncident aussi. Il suffit
de prendrepour f l’un des deux polynômes 1ou x dans le programme précédent en changeant
aussi Dex pour avoir une erreur nulle.
8. Un polynôme constant ad es dérivées exacte et approchée nulles. Si on veut Y 0 2 = 1,
pour N fixé, on partira de f constante, f =
1
√ N +1
pour obtenir MY 0 = 0. À noter que le
déterminantde M est nul.
4.4S plines cubiques
1. Il s’agitici d’interpolation d’Hermite, fonction et dérivée. On remarque facilement que les
{ B
3
k } forment une base de P 3 .Donc l’existence des coefficients a k entraînera l’unicité. En dérivant
parrapport à t ,ilvient :
( B
3
0 )
( t ) = − 3(1 − t )
2
,
( B
3
1 )
( t ) = 3(1 − 3 t )(1 − t ) ,
( B
3
2 )
( t ) = 3 t (2 − 3 t ) ,
( B
3
3 )
( t ) = 3 t
2
.
Notons que si p ( x ) =
3
k = 0
a k B
3
k ( t ), alors
dp
dx
=
dp
dt
dt
dx
=
1
b − a
3
k = 0
a k
dB
3
k
dt
.
Les conditions aux bords s’écrivent alors :
y a = p ( a ) =
3
k = 0
a k B
3
k (0) = a 0
y
a =
dp
dx
( a ) =
1
b − a
3
k = 0
a k
dB
3
k
dt
(0) = 3
− a 0 + a 1
b − a
y b = p ( b ) =
3
k = 0
a k B
3
k (1) = a 3
y
b =
dp
dx
( b ) =
1
b − a
3
k = 0
a k
dB
3
k
dt
(1) = 3
− a 2 + a 3
b − a
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit