Corrigés desproblèmes
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que
n
k = 1
w k ( x ) z k = 0sur [0, L ];alors les z k sont nuls puisque les w k forment une base de V n .La
matrice R + M est définie positive,donc inversible. En effetsi(R + M ) z = 0alors, z
t
( R + M ) z = 0
donc z = 0.
5. Si w i ( x ) = sin( i v x )avec v = p / L alors w i est de classe C
1
sur [0, L ]et w i (0) = w i ( L ) = 0.
Parailleurs { w 1 ,...,w n } forme une famille libre de C
1
.Déterminons r ij et m ij .
r ij =
L
0
w
i ( x ) w
j ( x ) dx = ijv
2
/ L
2
L
0
cos(i v x )cos( j v x ) dx =
0s i i = j
( i v )
2
/ 2 L si i = j ,
calcul classique obtenu en linéarisant le produit des fonctionstrigonométriques qu’on retrouveen
étudiant les séries de Fourier.Lamatrice R est diagonale.
De même si c ( x ) = 1,
m ij =
L
0
w i ( x ) w j ( x ) dx =
L
0
sin(i v x )sin( j v x ) dx =
0s i i = j
L / 2s i i = j .
La matrice M est aussi diagonale dès que la fonction c est constante.
6. Sur une subdivision x 0 = 0 < x 1 <... < x n < x n +1 = L ,nous définissons les fonctions
chapeau w i , i = 1 ,..., n ,c ontinues, affines par morceaux telles que pour j = 0 ,...,n +1,
w i ( x j ) = 0. Il est clair que w i est nulle en dehors de [ x i − 1 , x i +1 ]et C
1
par morceaux et que la
dérivée vaut
1
x i − x i − 1
sur [ x i − 1 , x i ]et
1
x i − x i +1
sur [ x i , x i +1 ]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x 0
=0
x i
x i+1
x n+1
=1
y=w i (x)
x i−1
Si j /∈{i − 1 , i , i +1} alors w j et w i ont des supports disjoints ou ayant au plus un point commun
si bien que dans ce cas r ij = m ij = 0. Ainsi les matrices R et M sont, au plus, tridiagonales.
Si x i +1 − x i = h , r i , i − 1 =
x i
x i − 1
− 1 / h
2
dx = − 1 / h et de même pour les autres composantes, si
bien que
r ij =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0s i j /∈{i − 1 , i , i +1}
− 1 / h si j = i − 1 , ou j = i +1,
2 / h
si j = i .
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit