Énoncés des problèmes
181
(c) Déterminer d’éventuelles conditions sur h et D t pour que la solution approchée reste bornée. Dans ce cas la méthode est dite stable,c omme elle est d’ordre supérieur à1 ,e lle est
convergente.
b) Programmation
On part de l’équation de la chaleur simplifiée
( P )
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = 0 , 0 x 1 , 0 t T ,
u ( x , 0) = u 0 ( x ) ,
0 x 1 ,
u (0, t ) = u (1, t ) = 0 ,
0 t .
pour en chercher des solutions approchées.
Soit h = D x = 1 / ( N +1)lepas d’espace et D t le pas de temps. On cherche des approximations
de u ( ih, n D t ) , i = 0àN +1, n = 0 , 1 ,... En fait u (0, n D t ) , u (1, n D t )et u ( i D x , 0) étant connues,
on chercheune approximation V ( i , n ) u ((i − 1)D x , ( n − 1)D t ), pour i = 2àN +1et n = 2 ,...
avec la condition initiale V ( i , 1) = u ((i − 1)h , 0) = u 0 ((i − 1)h ).
On choisitlaméthode d’Euler implicite, soit
V ( i , 1) = u 0 ((i − 1)h ) , i = 2àN +1
Id +
D t
( D x ) 2 A
V (2 : N +1, n +1) = V (2 : N +1, n ) , n 1
où A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 10
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
0
− 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
, Id est la matrice identité
et V (2 : N +1, n ) = ( V (2, n ) , V (3, n ) ,...,V ( N +1, n ))
T
∈ R
N
.
Si on prend u 0 ( x ) = sin p x ,a lors, la solution exacte de ( P )e st u ( x , t ) = sin( p x ) e
− p
2 t
.O n
prendra T = 0 . 4.
1. É crire un premier programme EQC1.m qui, àpartir de N ,calcule et affiche V (:, 1), calcule et
affiche la matrice A .T est pour N = 6.
✞
☎
>> EQC1
ans =
0
0.4339
0.7818
0.9749
0.9749
0.7818
0.4339
0
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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(c) Déterminer d’éventuelles conditions sur h et D t pour que la solution approchée reste bornée. Dans ce cas la méthode est dite stable,c omme elle est d’ordre supérieur à1 ,e lle est
convergente.
b) Programmation
On part de l’équation de la chaleur simplifiée
( P )
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = 0 , 0 x 1 , 0 t T ,
u ( x , 0) = u 0 ( x ) ,
0 x 1 ,
u (0, t ) = u (1, t ) = 0 ,
0 t .
pour en chercher des solutions approchées.
Soit h = D x = 1 / ( N +1)lepas d’espace et D t le pas de temps. On cherche des approximations
de u ( ih, n D t ) , i = 0àN +1, n = 0 , 1 ,... En fait u (0, n D t ) , u (1, n D t )et u ( i D x , 0) étant connues,
on chercheune approximation V ( i , n ) u ((i − 1)D x , ( n − 1)D t ), pour i = 2àN +1et n = 2 ,...
avec la condition initiale V ( i , 1) = u ((i − 1)h , 0) = u 0 ((i − 1)h ).
On choisitlaméthode d’Euler implicite, soit
V ( i , 1) = u 0 ((i − 1)h ) , i = 2àN +1
Id +
D t
( D x ) 2 A
V (2 : N +1, n +1) = V (2 : N +1, n ) , n 1
où A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 10
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
0
− 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
, Id est la matrice identité
et V (2 : N +1, n ) = ( V (2, n ) , V (3, n ) ,...,V ( N +1, n ))
T
∈ R
N
.
Si on prend u 0 ( x ) = sin p x ,a lors, la solution exacte de ( P )e st u ( x , t ) = sin( p x ) e
− p
2 t
.O n
prendra T = 0 . 4.
1. É crire un premier programme EQC1.m qui, àpartir de N ,calcule et affiche V (:, 1), calcule et
affiche la matrice A .T est pour N = 6.
✞
☎
>> EQC1
ans =
0
0.4339
0.7818
0.9749
0.9749
0.7818
0.4339
0
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit