Énoncés des problèmes
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11.2 Équation de la chaleur
On considère une barre de longueur L portée par un axedans laquelle la chaleur se transmet par
conduction.Onsuppose que la barre ades échanges de chaleur avec l’extérieur qui proviennent
de sourcesdisposées tout le long ;laquantité de chaleur fournie au point x àl’instant t ayant une
densité f ( x , t ). La température u ( x , t )vérifie alors
s
∂ u
∂ t
( x , t ) − g
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t )
où s est la chaleur spécifique linéaire et g la conductibilité calorifique. On suppose connuela
température initiale u ( x , 0) et les températures des extrémités u (0, t ) = a ( t )et u ( L , t ) = b ( t ).
Pard es changements de variables convenables, on peut supposer s = g = L = 1e t a ( t ) =
b ( t ) = 0 . Le problème àrésoudre est alors
( P )
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t ) , 0 x 1 , 0 t
u ( x , 0) = u 0 ( x ) ,
0 x 1 ,
conditions initiales
u (0, t ) = u (1, t ) = 0 ,
0 t ,
conditions aux bords.
On suppose que u 0 (0) = u 0 (1) = 0p our des raisons de compatibilité et que f et u 0 sont
suffisamment régulières. Dans ce cas ( P )admet une solution unique notée u .
a) Solution approchée
Nous allons chercher une solution approchée v définie sur un maillage en espace et en temps.
Pour un entier N strictement positif donné, on pose h =
1
N +1 = D x , c’est le pasd ’espace et
on choisit k = D t le pas de temps. On souhaite que v soit définie en x i = ih, t n = n D t pour
i = 0àN +1et n 0. Nous noterons V ( i , n ) = v ( x i , t n ). Nous prendrons naturellement
V ( i , 0) = u 0 ( x i ) , V (0, n ) = V ( N +1, n ) = 0pour les conditions initiales et aux limites. Il reste à
déterminer V ( i , n )pour i = 1 ,...,N et n 1.
1. Soit f une fonction définie sur R
2
et régulière.
Montrer que
∂ f
∂ t
( x , t ) =
f ( x , t + D t ) − f ( x , t )
D t
+ c 1 D t
∂
2
f
∂ t 2 ( x , t + a D t )( 11.1)
∂ f
∂ t
( x , t ) =
f ( x , t ) − f ( x , t − D t )
D t
− c 1 D t
∂
2
f
∂ t 2 ( x , t − b D t )( 11.2)
∂
2
f
∂ x 2 ( x , t ) =
f ( x − h , t ) − 2 f ( x , t )+f ( x + h , t )
h 2
+ c 2 h
2 ∂
4
f
∂ x 4 ( x + g h , t )( 11.3)
2. À l’aide de ces approximations des dérivées partielles, nous souhaitons, connaissant
( V ( j , n )) j = 1 ,..., N ,déterminer ( V ( i , n +1)) i = 1 ,..., N dans les 3cas suivant :
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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11.2 Équation de la chaleur
On considère une barre de longueur L portée par un axedans laquelle la chaleur se transmet par
conduction.Onsuppose que la barre ades échanges de chaleur avec l’extérieur qui proviennent
de sourcesdisposées tout le long ;laquantité de chaleur fournie au point x àl’instant t ayant une
densité f ( x , t ). La température u ( x , t )vérifie alors
s
∂ u
∂ t
( x , t ) − g
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t )
où s est la chaleur spécifique linéaire et g la conductibilité calorifique. On suppose connuela
température initiale u ( x , 0) et les températures des extrémités u (0, t ) = a ( t )et u ( L , t ) = b ( t ).
Pard es changements de variables convenables, on peut supposer s = g = L = 1e t a ( t ) =
b ( t ) = 0 . Le problème àrésoudre est alors
( P )
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂ u
∂ t
( x , t ) −
∂
2
u
∂ x 2 ( x , t ) = f ( x , t ) , 0 x 1 , 0 t
u ( x , 0) = u 0 ( x ) ,
0 x 1 ,
conditions initiales
u (0, t ) = u (1, t ) = 0 ,
0 t ,
conditions aux bords.
On suppose que u 0 (0) = u 0 (1) = 0p our des raisons de compatibilité et que f et u 0 sont
suffisamment régulières. Dans ce cas ( P )admet une solution unique notée u .
a) Solution approchée
Nous allons chercher une solution approchée v définie sur un maillage en espace et en temps.
Pour un entier N strictement positif donné, on pose h =
1
N +1 = D x , c’est le pasd ’espace et
on choisit k = D t le pas de temps. On souhaite que v soit définie en x i = ih, t n = n D t pour
i = 0àN +1et n 0. Nous noterons V ( i , n ) = v ( x i , t n ). Nous prendrons naturellement
V ( i , 0) = u 0 ( x i ) , V (0, n ) = V ( N +1, n ) = 0pour les conditions initiales et aux limites. Il reste à
déterminer V ( i , n )pour i = 1 ,...,N et n 1.
1. Soit f une fonction définie sur R
2
et régulière.
Montrer que
∂ f
∂ t
( x , t ) =
f ( x , t + D t ) − f ( x , t )
D t
+ c 1 D t
∂
2
f
∂ t 2 ( x , t + a D t )( 11.1)
∂ f
∂ t
( x , t ) =
f ( x , t ) − f ( x , t − D t )
D t
− c 1 D t
∂
2
f
∂ t 2 ( x , t − b D t )( 11.2)
∂
2
f
∂ x 2 ( x , t ) =
f ( x − h , t ) − 2 f ( x , t )+f ( x + h , t )
h 2
+ c 2 h
2 ∂
4
f
∂ x 4 ( x + g h , t )( 11.3)
2. À l’aide de ces approximations des dérivées partielles, nous souhaitons, connaissant
( V ( j , n )) j = 1 ,..., N ,déterminer ( V ( i , n +1)) i = 1 ,..., N dans les 3cas suivant :
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit