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Problèmes
Soit f une fonction régulière sur un rectangle R de R
2
contenant tous les points P i .Onpose
D h f ( P ) =
2
h 1 ( h 1 + h 3 )
f ( P 1 )+
2
h 2 ( h 2 + h 4 )
f ( P 2 )+
2
h 3 ( h 1 + h 3 )
f ( P 3 )
+
2
h 4 ( h 2 + h 4 )
f ( P 4 ) −
2
h 1 h 3
+
2
h 2 h 4
f ( P ) .
1. Montrer que | D h f ( P ) − D f ( P ) | c 1 M 3 h où M 3 = sup
( x , y ) ∈ R 2
∂
3
f
∂ x
3
i
(il s’agit desdérivées
troisièmes dans les2directions, x 1 = x , x 2 = y )et h = max h i .
2. Si h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h , écrire la nouvelle formule D h f et majorer | D h f ( P ) − D f ( P ) | .
b) Problème approché sur le carré V = [0, 1]
2
Soit N un entier strictement positif et h = 1 / ( N +1). On définit un maillage régulier de V en
posant ( x i , y j ) = ( ih, jh)pour i , j = 0 ,...,N +1.Soit V h l’ensemble des points du maillage
situés dans V . V h est donc de cardinal N
2
.
(0,0)
(h,0)
(2h,0)
(1,0)
(h,0)
(1,1)
(h,h)
(1,h)
(2h,0)
(1,0)
Ω h
(...,0)
P a
P b
P c
On cherche une approximation U h de u aux points de V h en supposant que U h coïncide avec u ,
donc g sur le bord G .Leproblème approché s’écrit
( P h )
− D h U h + h
2
cU h = h
2
f h sur V h
U h ( P ) = g ( P )si P ∈ G
1. Écrirel’équation correspondante pour les points P a (2h , h ), P b ( Nh, Nh), P c (3h , 2 h )....
2. Montrer que le problème ( P h )s’écrit A h U h = F h + G h où A h ∈ R
N
2 × N
2 , F h , G h ∈ R
N
2 .