Corrigés desexercices
167
Ainsi
1
h 2
f ( x i − 1 ) − 2 f ( x i )+f ( x i +1 )
−
1
12
f
( x i − 1 )+10 f
( x i )+f
( x i +1 )
peut être
majorépar g h
4
sup
x ∈ [ x i − 1 , x i +1 ]
f
(6)
( x )
.
2. Sachantque u
( x ) = c ( x ) u ( x ) − f ( x ), nous pouvons écrire que
1
h 2
u ( x i − 1 ) − 2 u ( x i )+u ( x i +1 )
−
1
12
u
( x i − 1 )+10 u
( x i )+u
( x i +1 )
=
1
h 2
u ( x i − 1 ) − 2 u ( x i )+u ( x i +1 )
−
1
12
c ( x i − 1 ) u ( x i − 1 )+10c ( x i ) u ( x i )+c ( x i +1 ) u ( x i +1 ) − f ( x i − 1 ) − 10 f ( x i ) − f ( x i +1 )
+ erreur
Nous en déduisons que la solution approchée V devra vérifier pour i = 2 ,...,N +1:
1
h 2
v i − 1 − 2 v i + v i +1
= −
1
12
c ( x i − 1 ) v i − 1 +10 c ( x i ) v i + c ( x i +1 ) v i +1 − f ( x i − 1 ) − 10 f ( x i ) − f ( x i +1 )
.
soit en multipliant par h
2
et en réorganisant les’équations :
( − 1+h
2
c ( x i − 1 ) v i − 1 +(2+c ( x i ))v i +(− 1+h
2
c ( x i +1 ) v i +1 =
h
2
12
( f ( x i − 1 )+10 f ( x i )+ f ( x i +1 )).
Sachant que v 1 = a et v N +2 = b ,o nr etrouvel es ystème AW = b où A et b ont été définis
précédemment.
Parcontinuité de la fonction c ,lamatrice A est ànouveau àdiagonale dominante stricte pour N
assez grand et donc inversible si bien que le système précédent admet une solution unique.
3...6. numerov4.m
✞
☎
N=5
alpha=1;
beta=-1;
h=1/(N+1);h2=h*h;
X=(0:h:1)’;
C=c(X);
F=f(X);
A1=2*diag(ones(N,1),0)- diag(ones(N-1,1),1)- diag(ones(N-1,1),-1);
A2=10*diag(C(2:N+1),0)+ diag(C(3:N+1),1)+ diag(C(2:N),-1);
A=A1+h2/12*A2;
b=h2/12*(F(1:N)+10*F(2:N+1)+F(3:N+2));
b(1)=b(1)+(1-h2/12*C(1))*alpha;
b(N)=b(N)+(1-h2/12*C(N+2))*beta;
V=[alpha;A\b; beta];
XX=0:1/500:1;
U=u(X);
err= norm(U-V,inf)
plot(XX,u(XX),X,V,’x’)
✝
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