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•
Matrices
A ∈ R
n × n
est définie positive si pour tout X ∈ R
n
, X
T
AX 0et X
T
AX = 0 ⇒ X = 0. Si A
est définie positive alors A est inversible.
Méthode de Gauss :Si A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)est inversible,ilexiste une matrice de permutation
(inversible) P et 2matrices L et U , L étant triangulaireinférieureàdiagonale unité, U étant
triangulaire supérieure, telles que PA = LU. Le système AX = b se transforme en LU X = Pb
et on résout successivement LY = Pb puis UX = Y .
Factorisation de Cholesky:Si A ∈ R
n × n
est symétrique et définie positive,ilexiste une unique
matrice C triangulairesupérieureàcoefficients diagonaux strictement positifs telle que A = C
T
C .
S’il est impossible de donner un rappel complet du cours sur les matrices en quelques lignes,
on retrouvera aussi des propriétés dans les chapitres suivants :changement de base, localisation
des valeurs propres dans les disques de Gershgorin, matrices tridiagonales, matrices àdiagonale
dominante, méthodes itérativesderésolution des systèmes (problème 11.1) etc.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
Le premierp aragraphe ci-dessous est une liste de petits exercices qui, sans faire le tour de la
question, permetd es e( re)familiariser avec le calcul matriciel. Dans le deuxième, on utilise
Matlab pour diagonaliser une matrice et calculer ses puissances.E nfin le dernier illustre la
méthode de la puissance qui permetgénéralement d’approcher la plus grande valeur propre en
module. Il s’agit ànouveau de découvrir un certain nombre d’outils de Matlab.
2.1 Premiers calculs
1. Inversion
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
n × n
.
Montrer que A
− 1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 − 24... ( − 2)
j − 1
... ( − 2)
n − 1
01− 24
...
... ( − 2)
n − 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
1( − 2)
j − i
... ( − 2)
n − i
. . .
. . .
. . .
. . .
01
− 2
0
...
001
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
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Matrices
A ∈ R
n × n
est définie positive si pour tout X ∈ R
n
, X
T
AX 0et X
T
AX = 0 ⇒ X = 0. Si A
est définie positive alors A est inversible.
Méthode de Gauss :Si A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)est inversible,ilexiste une matrice de permutation
(inversible) P et 2matrices L et U , L étant triangulaireinférieureàdiagonale unité, U étant
triangulaire supérieure, telles que PA = LU. Le système AX = b se transforme en LU X = Pb
et on résout successivement LY = Pb puis UX = Y .
Factorisation de Cholesky:Si A ∈ R
n × n
est symétrique et définie positive,ilexiste une unique
matrice C triangulairesupérieureàcoefficients diagonaux strictement positifs telle que A = C
T
C .
S’il est impossible de donner un rappel complet du cours sur les matrices en quelques lignes,
on retrouvera aussi des propriétés dans les chapitres suivants :changement de base, localisation
des valeurs propres dans les disques de Gershgorin, matrices tridiagonales, matrices àdiagonale
dominante, méthodes itérativesderésolution des systèmes (problème 11.1) etc.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
Le premierp aragraphe ci-dessous est une liste de petits exercices qui, sans faire le tour de la
question, permetd es e( re)familiariser avec le calcul matriciel. Dans le deuxième, on utilise
Matlab pour diagonaliser une matrice et calculer ses puissances.E nfin le dernier illustre la
méthode de la puissance qui permetgénéralement d’approcher la plus grande valeur propre en
module. Il s’agit ànouveau de découvrir un certain nombre d’outils de Matlab.
2.1 Premiers calculs
1. Inversion
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
n × n
.
Montrer que A
− 1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 − 24... ( − 2)
j − 1
... ( − 2)
n − 1
01− 24
...
... ( − 2)
n − 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
1( − 2)
j − i
... ( − 2)
n − i
. . .
. . .
. . .
. . .
01
− 2
0
...
001
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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