138
9
•
Méthodes multipas
Le premier termeaété majoré lors de l’étude de la méthode des trapèzes (chapitre 5, (5.1)
avec f = y
). Nous savons que
t 1
t 0
y
( t ) dt − h
y
( t 0 )+y
( t 1 )
2
M 3
12
h
3
.Pour le second, nous
réutilisonslamajoration précédente | y
( t 1 ) − f ( t 1 , x ) | LM 2
h
2
2
qu’on intègre entre t 0 et t 1 .
Nous pouvons alors conclure que | y ( t 1 ) − u 1 |
M 3
12
+
LM 2
4
h
3
.
2. Sachant que ´ i = y ( t i +1 ) − y ( t i − 2 ) −
9
4
hf( t i , y ( t i )) −
3
4
hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )), il vient immédiatement ´ i =
t i +1
t i − 2
y
( t ) dt −
9
4
hf( t i , y ( t i )) −
3
4
hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )). On reconnaît l’erreur étudiée au
paragraphe précédent (9.1) avec f = y
donc | ´ i |
3 h
4
8
max
t ∈ [ t i − 2 , t i +1 ]
y
(4)
( t )
3 h
4
8
M 4 ,c eq ui
nous donneune méthode d’ordre 3.
3. Pour i 2, on a
v i +1 = v i − 2 +
9 h
4
f ( t i , v i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , v i − 2 )+m i
u i +1 = u i − 2 +
9 h
4
f ( t i , u i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , u i − 2 )
Pardifférence et en utilisant la lipschicité de f ,ilvient
| v i +1 − u i +1 | | v i − 2 − u i − 2 | +
9 h
4
L | v i − u i | +
3 h
4
L | v i − 2 − u i − 2 | + | m i | (1 +3Lh) u i + | m i | ,
où u i = max(| v i − 2 − u i − 2 | , | v i − 1 − u i − 1 | , | v i − u i | ).
Sachantq ue | v i − u i | et | v i − 1 − u i − 1 | peuvent être majorés successivement par u i ,p uis par
(1 +3Lh) u i et enfin par (1 +3Lh) u i + | m i | ,nous en déduisons que pour tout i 2
u i +1 (1 +3Lh) u i + | m i | .
(9.6)
4. Soit ( a i )et(b i )2suites de réels positifs vérifiant a i +1 (1 + hK) a i + b i pour tout i entier
positif. Nous allons montrerpar récurrence sur i que
a i e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j .
(9.7)
Il est facile de montrer que pour tout x 0, nous avons e
x
1+x par étude de la fonction
différence ou en remarquant que 1+x sont les 2p remiers termes du développement en série
entière de e
x
qui ades termes positifs. Nous en déduisons 1+hK e
hK
.
Pour i = 0, nous avons a 0 a 0 e
0
= a 0 e
t 0 − t 0 +0.
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Méthodes multipas
Le premier termeaété majoré lors de l’étude de la méthode des trapèzes (chapitre 5, (5.1)
avec f = y
). Nous savons que
t 1
t 0
y
( t ) dt − h
y
( t 0 )+y
( t 1 )
2
M 3
12
h
3
.Pour le second, nous
réutilisonslamajoration précédente | y
( t 1 ) − f ( t 1 , x ) | LM 2
h
2
2
qu’on intègre entre t 0 et t 1 .
Nous pouvons alors conclure que | y ( t 1 ) − u 1 |
M 3
12
+
LM 2
4
h
3
.
2. Sachant que ´ i = y ( t i +1 ) − y ( t i − 2 ) −
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hf( t i , y ( t i )) −
3
4
hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )), il vient immédiatement ´ i =
t i +1
t i − 2
y
( t ) dt −
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4
hf( t i , y ( t i )) −
3
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hf( t i − 2 , y ( t i − 2 )). On reconnaît l’erreur étudiée au
paragraphe précédent (9.1) avec f = y
donc | ´ i |
3 h
4
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max
t ∈ [ t i − 2 , t i +1 ]
y
(4)
( t )
3 h
4
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M 4 ,c eq ui
nous donneune méthode d’ordre 3.
3. Pour i 2, on a
v i +1 = v i − 2 +
9 h
4
f ( t i , v i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , v i − 2 )+m i
u i +1 = u i − 2 +
9 h
4
f ( t i , u i )+
3 h
4
f ( t i − 2 , u i − 2 )
Pardifférence et en utilisant la lipschicité de f ,ilvient
| v i +1 − u i +1 | | v i − 2 − u i − 2 | +
9 h
4
L | v i − u i | +
3 h
4
L | v i − 2 − u i − 2 | + | m i | (1 +3Lh) u i + | m i | ,
où u i = max(| v i − 2 − u i − 2 | , | v i − 1 − u i − 1 | , | v i − u i | ).
Sachantq ue | v i − u i | et | v i − 1 − u i − 1 | peuvent être majorés successivement par u i ,p uis par
(1 +3Lh) u i et enfin par (1 +3Lh) u i + | m i | ,nous en déduisons que pour tout i 2
u i +1 (1 +3Lh) u i + | m i | .
(9.6)
4. Soit ( a i )et(b i )2suites de réels positifs vérifiant a i +1 (1 + hK) a i + b i pour tout i entier
positif. Nous allons montrerpar récurrence sur i que
a i e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j .
(9.7)
Il est facile de montrer que pour tout x 0, nous avons e
x
1+x par étude de la fonction
différence ou en remarquant que 1+x sont les 2p remiers termes du développement en série
entière de e
x
qui ades termes positifs. Nous en déduisons 1+hK e
hK
.
Pour i = 0, nous avons a 0 a 0 e
0
= a 0 e
t 0 − t 0 +0.