VII – Harmonic Analysis and Holomorphic Functions . . . . . . . . . 251
1 – Cauchy’s integral formula for a circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 1. Analysis on the unit circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2 – Functions and measures on the unit circle . . . . . . . . . . . . . . 255
3 – Fourier coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4 – Convolution product on T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5 – Dirac sequences in T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§ 2. Elementary theorems on Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 – Absolutely convergent Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7 – Hilbertian calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8 – The Parseval-Bessel equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9 – Fourier series of differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10 – Distributions on T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
§ 3. Dirichlet’s method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11 – Dirichlet’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
12 – Fej´ er’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13 – Uniformly convergent Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
§ 4. Analytic and holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14 – Analyticity of the holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . 308
15 – The maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
16 – Functions analytic in an annulus. Singular points. Meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
17 – Periodic holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
18 – The theorems of Liouville and of d’Alembert-Gauss . . . . . 320
19 – Limits of holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
20 – Infinite products of holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . 332
§ 5. Harmonic functions and Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
21 – Analytic functions defined by a Cauchy integral . . . . . . . . 340
22 – Poisson’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
23 – Applications to Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
24 – Harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
25 – Limits of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
26 – The Dirichlet problem for a disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
§ 6. From Fourier series to integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
27 – The Poisson summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
28 – Jacobi’s theta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
29 – Fundamental formulae for the Fourier transform . . . . . . . 365
30 – Extensions of the inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
31 – The Fourier transform and differentiation . . . . . . . . . . . . . 374
32 – Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Postface. Science, technology, arms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Table of Contents of Volume I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Table of Contents of Volume II
321
1 – Cauchy’s integral formula for a circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 1. Analysis on the unit circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2 – Functions and measures on the unit circle . . . . . . . . . . . . . . 255
3 – Fourier coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4 – Convolution product on T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5 – Dirac sequences in T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§ 2. Elementary theorems on Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 – Absolutely convergent Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7 – Hilbertian calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8 – The Parseval-Bessel equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9 – Fourier series of differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10 – Distributions on T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
§ 3. Dirichlet’s method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11 – Dirichlet’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
12 – Fej´ er’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13 – Uniformly convergent Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
§ 4. Analytic and holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14 – Analyticity of the holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . 308
15 – The maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
16 – Functions analytic in an annulus. Singular points. Meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
17 – Periodic holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
18 – The theorems of Liouville and of d’Alembert-Gauss . . . . . 320
19 – Limits of holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
20 – Infinite products of holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . 332
§ 5. Harmonic functions and Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
21 – Analytic functions defined by a Cauchy integral . . . . . . . . 340
22 – Poisson’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
23 – Applications to Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
24 – Harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
25 – Limits of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
26 – The Dirichlet problem for a disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
§ 6. From Fourier series to integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
27 – The Poisson summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
28 – Jacobi’s theta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
29 – Fundamental formulae for the Fourier transform . . . . . . . 365
30 – Extensions of the inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
31 – The Fourier transform and differentiation . . . . . . . . . . . . . 374
32 – Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Postface. Science, technology, arms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Table of Contents of Volume I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Table of Contents of Volume II
321
Précédent