Table of Contents of Volume I
317
Appendix to Chapter III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1 – Cartesian spaces and general metric spaces . . . . . . . . . . . . . 303
2 – Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3 – Limits and Cauchy’s criterion in a metric space; complete
spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4 – Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5 – Absolutely convergent series in a Banach space . . . . . . . . . 313
6 – Continuous linear maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7 – Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8 – Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
IV – Powers, Exponentials, Logarithms, Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
§1. Direct construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1 – Rational exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 – Definition of real powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
3 – The calculus of real exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4 – Logarithms to base a. Power functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5 – Asymptotic behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6 – Characterisations of the exponential, power and logarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7 – Derivatives of the exponential functions: direct method . . 339
8 – Derivatives of exponential functions, powers and logarithms342
§2. Series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9 – The number e. Napierian logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10 – Exponential and logarithmic series: direct method . . . . . . 346
11 – Newton’s binomial series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12 – The power series for the logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13 – The exponential function as a limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14 – Imaginary exponentials and trigonometric functions . . . . 372
15 – Euler’s relation chez Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
16 – Hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
§3. Infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17 – Absolutely convergent infinite products . . . . . . . . . . . . . . . 394
18 – The infinite product for the sine function . . . . . . . . . . . . . . 397
19 – Expansion of an infinite product in series . . . . . . . . . . . . . . 403
20 – Strange identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§4. The topology of the functions Arg(z) and Log z . . . . . . . . . . . . . 414
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
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Appendix to Chapter III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1 – Cartesian spaces and general metric spaces . . . . . . . . . . . . . 303
2 – Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3 – Limits and Cauchy’s criterion in a metric space; complete
spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4 – Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5 – Absolutely convergent series in a Banach space . . . . . . . . . 313
6 – Continuous linear maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7 – Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8 – Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
IV – Powers, Exponentials, Logarithms, Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
§1. Direct construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1 – Rational exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 – Definition of real powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
3 – The calculus of real exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4 – Logarithms to base a. Power functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5 – Asymptotic behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6 – Characterisations of the exponential, power and logarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7 – Derivatives of the exponential functions: direct method . . 339
8 – Derivatives of exponential functions, powers and logarithms342
§2. Series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9 – The number e. Napierian logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10 – Exponential and logarithmic series: direct method . . . . . . 346
11 – Newton’s binomial series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12 – The power series for the logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13 – The exponential function as a limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14 – Imaginary exponentials and trigonometric functions . . . . 372
15 – Euler’s relation chez Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
16 – Hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
§3. Infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17 – Absolutely convergent infinite products . . . . . . . . . . . . . . . 394
18 – The infinite product for the sine function . . . . . . . . . . . . . . 397
19 – Expansion of an infinite product in series . . . . . . . . . . . . . . 403
20 – Strange identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§4. The topology of the functions Arg(z) and Log z . . . . . . . . . . . . . 414
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425