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Pollution at rnospherique
connue la distribution de t emper ature T (T). Le modele inverse revient a t ro uver cette di st ribution a parti r de la connai ssan ce d 'une parti e de la di stribution
verti cale du rayonne ment I (T).
Exercice 2.3 (T'heor-i e de Chapman des couches)
L'objectif de cet exercice est d 'illust rer la notion de « couche » atrnospherique.
On cons ide re un e mol ecule aya nt un pic d 'ab sorption pour un e lon gu eur d 'onde
donnee du rayonnem ent sola ire. La diffusion et le rayonnem ent propre de l' atmo spher e sont negliges et seule l'ab sorption est prise en com pte.
On suppose qu e le profil vertical de sa conce ntration suit un e loi expo ne nt ielle n( z) = noex p(-z / H) , avec H un e hau t eur d 'echelle et z la coo rdo nnee
ver ticale (dan s le sens des alt it udes cro issantes). On no t e el'angle du rayonnemen t incid ent avec la verticale et s l' ab scisse cur viligne le lon g du rayonnem ent
(decroi ssan t avec l' altitude) .
1. Ca1culer le profil de taux d 'abso rpt ion d 'energ ie (-dI / d s) .
2. Montrer qu 'il at teint un maximum a un e alt it ude Zmax. Comme nter.
3. Qu 'obtient-on pour le cas de l'ozon e (prendre e= 0) ?
Donnees indicatives pour l'ozon e :
- (}" a = 4 X 1017
crrr' molecul e't ' ;
- n( z ) = n oexp(-(z - zo)/H) pour z;::: Zo = 35 km, no = 1012molecul e cm - 3,
H = 5 km .
R eponse :
1. L'evolution d 'un rayonnem ent incident 1(00) en hau t de l'atrnosphere est donnee par la loi de Beer-L ambert , d1 /ds = -aan(z(s))1. Avec dz = - cos e ds,
on a aisemc nt apres int egration
(
Haano
)
1(z ) = 1( oo) exp - cos e ex p(-z/H) .
L'intensite est bien sur croissa nte avec l'altitude, l'ab sorption aug me nt ant avec
la profondeu r optique. L'ab sorption du rayonnem ent est associee a un e ab sorpt ion d 'en ergie, dont les variat ions sont donnees par le t aux de dep ot d 'energie
le lon g du chem in optique
d1
( H a ano
)
- -
= a an o1(oo) exp -z/H - - - exp (- z/H ) .
ds
cose
2. Apres calcul (on annule la deriv ee seconde de 1), le maximum de dep ot d 'energie
est atteint en
(
H a an o )
Zmax = Hln
cos e
.
Zmax ne dep end pas de l'energie incid ente mais uniquem ent de l' an gle d 'in cidence (plus le rayonnem ent est « oblique», plus il est eleve) et des ca racteristiques du milieu abso rbant (a a).
L' ab sorp tion (le dep ot d 'energie) est un e fonction conc ave de l'altitude : audessus de Zmax, l'ab sorpti on est limi t ee par la rar efaction du nombre de molecules; en dessou s, le rayonneme nt a deja ete forteme nt ab sorbs .
Pollution at rnospherique
connue la distribution de t emper ature T (T). Le modele inverse revient a t ro uver cette di st ribution a parti r de la connai ssan ce d 'une parti e de la di stribution
verti cale du rayonne ment I (T).
Exercice 2.3 (T'heor-i e de Chapman des couches)
L'objectif de cet exercice est d 'illust rer la notion de « couche » atrnospherique.
On cons ide re un e mol ecule aya nt un pic d 'ab sorption pour un e lon gu eur d 'onde
donnee du rayonnem ent sola ire. La diffusion et le rayonnem ent propre de l' atmo spher e sont negliges et seule l'ab sorption est prise en com pte.
On suppose qu e le profil vertical de sa conce ntration suit un e loi expo ne nt ielle n( z) = noex p(-z / H) , avec H un e hau t eur d 'echelle et z la coo rdo nnee
ver ticale (dan s le sens des alt it udes cro issantes). On no t e el'angle du rayonnemen t incid ent avec la verticale et s l' ab scisse cur viligne le lon g du rayonnem ent
(decroi ssan t avec l' altitude) .
1. Ca1culer le profil de taux d 'abso rpt ion d 'energ ie (-dI / d s) .
2. Montrer qu 'il at teint un maximum a un e alt it ude Zmax. Comme nter.
3. Qu 'obtient-on pour le cas de l'ozon e (prendre e= 0) ?
Donnees indicatives pour l'ozon e :
- (}" a = 4 X 1017
crrr' molecul e't ' ;
- n( z ) = n oexp(-(z - zo)/H) pour z;::: Zo = 35 km, no = 1012molecul e cm - 3,
H = 5 km .
R eponse :
1. L'evolution d 'un rayonnem ent incident 1(00) en hau t de l'atrnosphere est donnee par la loi de Beer-L ambert , d1 /ds = -aan(z(s))1. Avec dz = - cos e ds,
on a aisemc nt apres int egration
(
Haano
)
1(z ) = 1( oo) exp - cos e ex p(-z/H) .
L'intensite est bien sur croissa nte avec l'altitude, l'ab sorption aug me nt ant avec
la profondeu r optique. L'ab sorption du rayonnem ent est associee a un e ab sorpt ion d 'en ergie, dont les variat ions sont donnees par le t aux de dep ot d 'energie
le lon g du chem in optique
d1
( H a ano
)
- -
= a an o1(oo) exp -z/H - - - exp (- z/H ) .
ds
cose
2. Apres calcul (on annule la deriv ee seconde de 1), le maximum de dep ot d 'energie
est atteint en
(
H a an o )
Zmax = Hln
cos e
.
Zmax ne dep end pas de l'energie incid ente mais uniquem ent de l' an gle d 'in cidence (plus le rayonnem ent est « oblique», plus il est eleve) et des ca racteristiques du milieu abso rbant (a a).
L' ab sorp tion (le dep ot d 'energie) est un e fonction conc ave de l'altitude : audessus de Zmax, l'ab sorpti on est limi t ee par la rar efaction du nombre de molecules; en dessou s, le rayonneme nt a deja ete forteme nt ab sorbs .