1-10 Two examples: Mercator Projection and Stereographic Projection 65
Box 1.32 (Left Korn–Lichtenstein equations, UPS of E
2
A 1 ,A 1 ,A 2 , harmonicity, orientation).
Left Korn–Lichtenstein equations:
(1st) P Λ = +
r
G 11
G 22
Q Φ , P Φ = −
r
G 22
G 11
Q Λ (2nd) ,
(1st) Q Λ = −
r
G 11
G 22
P Φ , Q Φ = +
r
G 22
G 11
P Λ (2nd) ;
(1.229)
r
G 11
G 22
= cos Φ
1 − E
2 sin
2 Φ
1 − E 2
⇔
r
G 22
G 11
=
1
cos Φ
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
;
(1.230)
(UPS left)
8
> <
> :
Q Φ = f
(Φ) sin Λ = −
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) sin Λ
P Λ = −f (Φ) sin Λ
9
> =
> ;
(KL 2nd) ,
(UPS left)
8
> <
> :
Q Λ = f (Φ) cos Λ
P Φ = f
(Φ) cos Λ = −
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) cos Λ
9
> =
> ;
(KL 1st) .
(1.231)
Left integrability conditions:
∆ Λ,Φ P =
r
G 11
G 22
P Φ
!
Φ
+
r
G 22
G 11
P Λ
!
Λ
= 0 ,
∆ Λ,Φ Q =
r
G 11
G 22
Q Φ
!
Φ
+
r
G 22
G 11
Q Λ
!
Λ
= 0 .
(1.232)
(1st)
r
G 11
G 22
P Φ = cos Φ
1 − E
2 sin
2 Φ
1 − E 2
„
−
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
«
f (Φ) cos Λ = −f (Φ) cos Λ ,
r
G 22
G 11
P Λ =
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
[−f (Φ) sin Λ] ,
∆ Λ,Φ P = −f
(Φ) cos Λ −
1
cos Φ
1 − E
2 sin
2 Φ
1 − E 2
f (Φ) cos Λ =
= +
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) cos Λ −
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) cos Λ = 0 q. e. d.
(1.233)
(2nd)
r
G 11
G 22
Q Φ = cos Φ
1 − E
2 sin
2 Φ
1 − E 2
„
−
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
«
f (Φ) sin Λ = −f (Φ) sin Λ ,
r
G 22
G 11
Q Λ =
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
[+f (Φ) cos Λ] ,
∆ Λ,Φ Q = −f
(Φ) sin Λ −
1
cos Φ
1 − E
2 sin
2 Φ
1 − E 2
f (Φ) sin Λ =
= +
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) sin Λ −
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f (Φ) sin Λ = 0 q. e. d.
(1.234)
Left orientation:
˛
˛
˛
˛
˛
P Λ P Φ
Q Λ Q Φ
˛
˛
˛
˛
˛
= P Λ Q Φ − P Φ Q Λ = −ff
`
sin
2 Λ + cos
2 Λ
´
= −f (Φ)f
(Φ) =
=
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
f
2 (Φ) > 0 due to − π/2 < Φ < +π/2 ⇒ cos Φ > 0 q.e.d.
(1.235)