1-10 Two examples: Mercator Projection and Stereographic Projection 63
Box 1.31 (UPS of E
2
A 1 ,A 1 ,A 2 versus UPS of S
2
r ).
Left conformal coordinates
Right conformal coordinates
(isometric, isothermal):
(isometric, isothermal):
P =
2A 1
√
1 − E 2
„
1 − E
1 + E
« E/2
×
× tan
„
π
4
−
Φ
2
« „
1 + E sin Φ
1 − E sin Φ
« E/2
cos Λ ,
p = 2r tan
„
π
4
−
φ
2
«
cos λ ,
Q =
2A 1
√
1 − E 2
„
1 − E
1 + E
« E/2
×
× tan
„
π
4
−
Φ
2
« „
1 + E sin Φ
1 − E sin Φ
« E/2
sin Λ .
q = 2r tan
„
π
4
−
φ
2
«
sin λ .
(1.224)
Left matrix of the metric G l :
Right matrix of the metric G r :
G l =
2
6
6
6
4
A
2
1 cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
0
0
A
2
1 (1 − E
2 )
2
(1 − E 2 sin
2 Φ) 3
3
7
7
7
5
.
"
r
2 cos
2 φ
0
0
r
2
#
= G r .
(1.225)
Left Jacobi matrix:
Right Jacobi matrix:
P = f (Φ) cos Λ , Q = f (Φ) sin Λ ,
p = g(φ) cos λ , q = g(φ) sin λ ,
f (Φ) :=
2A 1
√
1 − E 2
„
1 − E
1 + E
« E/2
×
× tan
„
π
4
−
Φ
2
« „
1 + E sin Φ
1 − E sin Φ
« E/2
,
g(φ) := 2r tan
„
π
4
−
φ
2
«
,
P Λ = −f (Φ) sin Λ , Q Λ = +f (Φ) cos Λ ,
p λ = −g(φ) sin λ , q λ = +g(φ) cos λ ,
P Φ = +f
(Φ) cos Λ , Q Φ = +f
(Φ) sin Λ ,
p φ = +g
(φ) cos λ , q φ = +g
(φ) sin λ ,
f
(Φ) = −
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
f (Φ)
cos Φ
.
g
(φ) = −
g(φ)
cos φ
.
(1.226)
“Trigonometry”:
tan
x
2
=
1 − cos x
sin x
: tan
„
π
4
−
φ
2
«
=
1
2
tan
“ π
2
− φ
”
=
1 − cos
` π
2
− φ
´
sin
` π
2
− φ
´ =
1 − sin φ
cos φ
.
(1.227)
“Differential calculus”:
y = tan x , y
=
1
cos 2 x
= 1 + tan
2 x :
d
dφ
tan
„
π
4
−
φ
2
«
= −
1
2
»
1 + tan
2 ` π
4
−
φ
2
´
–
=
= −
1
2
»
1 + tan
2 1
2
“ π
2
− φ
” –
= −
1
2
»
1 +
(1 − sin φ)
2
cos 2 φ
–
=
= −
1
2
1
cos φ
cos
2 φ + 1 − 2 sin φ + sin
2 φ
cos φ
= −
1
cos φ
1 − sin φ
cos φ
= −
1
cos φ
tan
„
π
4
−
φ
2
«
.
(1.228)