1-10 Two examples: Mercator Projection and Stereographic Projection 59
Box 1.27 (Conformally flat left and right manifolds, ellipsoid-of-revolution versus sphere).
Left manifold,
Right manifold,
{Λ, Φ} left coordinates:
{λ, φ} right coordinates:
dS
2 =
A
2
1 cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
dΛ
2 +
A
2
1 (1 − E
2 )
2
(1 − E 2 sin
2 Φ) 3 dΦ
2 .
ds
2 = r
2 cos
2 φ dλ
2 + r
2 dφ
2 .
(1.212)
Conformally flat left manifold,
Conformally flat right manifold,
{P, Q} conformally
{p, q} conformally
left coordinates
right coordinates
(isometric, isothermal):
(isometric, isothermal):
dS
2 =
cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
×
ds
2 = cos
2 φ ×
×
»
A
2
1 dΛ
2 +
A
2
1 (1 − E
2 )
2
(1 − E 2 sin
2 Φ) 2
1
cos 2 Φ
dΦ
2
–
.
×
»
r
2 dλ
2 +
r
2
cos 2 φ
dφ
2
–
.
(1.213)
Left differential form:
Right differential form:
dP := A 1 dΛ ,
dp := rdλ ,
dQ := A 1
1 − E
2
1 − E 2 sin
2 Φ
1
cos Φ
dΦ .
dq := r
1
cos φ
dφ .
(1.214)
Left factor of conformality:
Right factor of conformality:
λ
2
l :=
cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
,
dS
2
ds
2
l
= λ
2
l ,
cos
2 φ =: λ
2
r , λ
2
r =
ds
2
ds 2
r
,
ds
2
l = dP
2 + dQ
2 ,
dp
2 + dq
2 = ds
2
r ,
dS
2 = λ
2
l
`
dP
2 + dQ
2
´
,
λ
2
r
`
dp
2 + dq
2
´
= ds
2 ,
dS
2 =
cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
`
dP
2 + dQ
2 ´
.
cos
2 φ
`
dp
2 + dq
2
´
= ds
2 .
(1.215)
Left Cauchy–Green matrix:
Right Cauchy–Green matrix:
˛
˛ C l − Λ
2
l G l
˛
˛ = 0 ⇔
˛
˛ C r − Λ
2
r G r
˛
˛ = 0 ⇔
⇔
˛
˛
˛
˛
A
2
1 − Λ
2
l G 11
0
0
Q
2
Φ − Λ
2
l G 22
˛
˛
˛
˛ = 0 ⇔
⇔
˛
˛
˛
˛
r
2 − Λ
2
r g 11
0
0
q
2
φ − Λ
2
r g 22
˛
˛
˛
˛ = 0 ⇔
⇔
2
6
6
4
l Λ
2
1 =
A
2
1
G 11
=
1 − E
2 sin
2 Φ
cos 2 Φ
l Λ
2
2 =
Q
2
Φ
G 22
=
1 − E
2 sin
2 Φ
cos 2 Φ
3
7
7
5 ⇒
⇔
2
6
6
6
4
r Λ
2
1 =
r
2
g 11
r Λ
2
2 =
q
2
φ
g 22
=
1
cos 2 φ
3
7
7
7
5
⇒
⇒ l Λ
2
1 = l Λ
2
2 = Λ
2
l =
1 − E
2 sin
2 Φ
cos 2 Φ
⇔
⇒ r Λ
2
1 = r Λ
2
2 = Λ
2
r =
1
cos 2 Φ
⇔
⇔ λ
2
l =
cos
2 Φ
1 − E 2 sin
2 Φ
.
⇔ λ
2
r = cos
2 φ .
(1.216)