618 H Generalized Hammer projection
H-4 The transformation of the radial function r(A
∗ , B
∗ ) into r(Λ
∗ , Φ
∗ )
In this section, the transformation of the radial function r(A
∗ , B
∗ ) into r(Λ
∗ , Φ
∗ ) is presented. The
following relations (H.104)–(H.112) specify this transformation.
First factor (see (H.14), (H.30)):
A
2
1
√
1 − E 2
(1 − E 2 cos 2 A ∗ ) 3/2 =
A
2
1
(1 − E 2 )
(cos
2 (Λ
∗
− Ω) cos
2 Φ
∗ + (1 − E
2 )
2 sin
2 Φ
∗ )
3/2
(cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗ ) 3/2 .
(H.104)
First term (see (H.12),(H.14), (H.15), (H.30)):
t 1 = t 1 (A
∗ , B
∗ ) := − sin B
∗
(1 − E 2 )(1 − E 2 cos 2 A ∗ ) + E 2 cos 2 B ∗ sin
2 A ∗ ,
(H.105)
t 1 = t 1 (Λ
∗ , Φ
∗ ) := −
sin(Λ
∗
− Ω) cos Φ
∗ (1 − E
2 )
1 − E 2 sin
2 Φ ∗
×
×
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) 2 sin
2 Φ ∗
.
(H.106)
Second term (see (H.12),(H.14), (H.15), (H.30)):
t 2 = t 2 (A
∗ , B
∗ ) := −
1 − 2E
2 cos
2 A
∗ + E
4 cos
2 A
∗
E sin A ∗
×
× arcsin
E sin B
∗ sin A
∗
√
1 − 2E 2 cos 2 A ∗ + E 4 cos 2 A ∗
,
(H.107)
t 2 = t 2 (Λ
∗ , Φ
∗ ) := −
1 − E
2
E sin Φ ∗
1 − sin
2 (Λ
∗
− Ω) cos
2 Φ
∗
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) 2 sin
2 Φ ∗
×
× arcsin
E sin(Λ
∗
− Ω) sin Φ
∗ cos Φ
∗
(1 − E 2 sin
2 Φ ∗ )(1 − sin
2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ )
.
(H.108)
Third term (see (H.14), (H.30)):
t 3 = t 3 (A
∗ , B
∗ ) :=
1 − E 2
1 − E 2 cos 2 A ∗ ,
(H.109)
t 3 = t 3 (Λ
∗ , Φ
∗ ) := (1 − E
2 )
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) 2 sin
2 Φ ∗
.
(H.110)