608 H Generalized Hammer projection
Lemma H.3 (Equiareal mapping of the biaxial ellipsoid onto the transverse plane).
The mapping of the biaxial ellipsoid onto the transverse tangent plane normal to E 3 is equiareal if
(i)
α = arctan
(1 − E
2 ) tan Φ
∗
− cos(Λ ∗ − Ω)
,
r = A 1
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) 2 sin
2 Φ ∗
(cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗ ) 3/4
t ∗
1 + t ∗
2 + t ∗
3 + t ∗
4
(in polar coordinates) ,
(H.33)
subject to
t
∗
1 = −
sin(Λ
∗
− Ω) cos Φ
∗
1 − E 2 sin
2 Φ ∗
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗ ,
t
∗
2 = −
1 − sin
2 (Λ
∗
− Ω) cos
2 Φ
∗
E sin Φ ∗
arcsin
E sin(Λ
∗
− Ω) sin Φ
∗ cos Φ
∗
(1 − E 2 sin
2 Φ ∗ )(1 − sin
2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ )
,
t
∗
3 =
cos 2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗ + (1 − E 2 ) sin
2 Φ ∗ ,
t
∗
4 =
1 − sin
2 (Λ
∗
− Ω) cos
2 Φ
∗
E sin Φ ∗
arcsin
E sin Φ
∗
1 − sin
2 (Λ ∗ − Ω) cos 2 Φ ∗
,
(H.34)
(ii)
cos α =
− cos(Λ
∗
− Ω)
cos 2 (Λ ∗ − Ω) + (1 − E 2 ) 2 tan
2 Φ ∗
,
sin α =
(1 − E
2 ) tan Φ
∗
cos 2 (Λ ∗ − Ω) + (1 − E 2 ) 2 tan
2 Φ ∗
(in Cartesian coordinates x
∗ = r cos α and y
∗ = r sin α) ,
(H.35)
(iii)
α = lim
E→0
α(E) = arctan
tan Φ
∗
− cos(Λ ∗ − Ω)
,
r = lim
E→0
r(E) = A 1
√
2
1 − sin(Λ ∗ − Ω) cos Φ ∗
(if E = 0) .
(H.36)
End of Lemma.