F-2 Mixed equiareal cylindric mapping: biaxial ellipsoid onto plane 577
In detail, we use
(1 − E
2 sin
2 Φ)
−3/2
≈
≈ 1 +
3
2
E
2 sin
2 Φ +
15
8
E
4 sin
4 Φ + O(E
6 ) ,
1 − E 2 sin
2 Φ ≈
≈ 1 −
1
2
E
2 sin
2 Φ −
1
8
E
4 sin
4 Φ + O(E
6 ) ,
(F.39)
α
1 − E 2 sin
2 Φ + β cos Φ ≈
≈ α + β cos Φ −
α
2
E
2 sin
2 Φ −
α
8
E
4 sin
4 Φ + O(E
6 ) ,
(α
1 − E 2 sin
2 Φ + β cos Φ)
−1
≈
≈
1
α + β cos Φ
+
αE
2 sin
2 Φ
2(α + β cos Φ) 2 +
αE
4 (3α + β cos Φ) sin
4 Φ
8(α + β cos Φ) 3
+ O(E
6 ) ,
(F.40)
cos Φ(1 − E
2 sin
2 Φ)
−3/2
α
1 − E 2 sin
2 Φ + β cos Φ
≈
≈
cos Φ
α + β cos Φ
×
×
1 +
E
2 (4α + 3β cos Φ) sin
2 Φ
2(α + β cos Φ)
+
+
E
4 (24α
2 + 37αβ cos Φ + 15β
2 cos
2 Φ) sin
4 Φ
8(α + β cos Φ) 2
+ O(E
6 )
,
(F.41)
Φ
0
cos Φ
∗ (1 − E
2 sin
2 Φ
∗ )
−3/2
α
1 − E 2 sin
2 Φ ∗ + β cos Φ ∗
dΦ
∗
≈
≈
2α
β
α 2 − β 2
arctan
(β − α) tan Φ/2
α 2 − β 2
1 + E
2
1 −
α
2
2β 2
+
+
Φ
β
1 + E
2
3
4
−
α
2
2β 2
+
+E
2 (α − β cos Φ)(2α + 3β cos Φ) sin Φ
4β 2 (α + β cos Φ)
+ O(E
4 ) .
(F.42)
For the term-wise integration in (F.42) by MATHEMATICA, uniform convergence of the kernel has
been necessary. In summarizing, we have proven Lemma F.7.