560 E Geodesics
Continuation of Box.
(iv) Universal Conic Projection (UC):
q
1 = r cos α , q
2 = r sin α ,
(E.81)
α = n Λ , r = c
„
tan
` π
4
−
Φ
2
´ “
1+e sin Φ
1−e sin Φ
” e
2
« n
,
(E.82)
λ =
A cos Φ
c n
√
1−e 2 sin 2 Φ
„
tan
` π
4
−
Φ
2
´ “
1+e sin Φ
1−e sin Φ
” e
2
« −n
=
=
A cos r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
c n
√
1−e 2 sin 2 r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
« ×
×
0
B
@tan
0
@ π
4
−
r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
2
1
A
0
@
1+e sin r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1−e sin r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1
A
e
2
1
C
A
−n
.
(E.83)
Variant one (UC). Equidistant map of the parallel circle Φ 0 /line-of-contact:
n = sin Φ 0 ,
(E.84)
c =
A cot Φ 0
√
1−e 2 sin 2 Φ 0
„
tan
` π
4
−
Φ 0
2
´ “
1+e sin Φ 0
1−e sin Φ 0
” e
2
« −n
,
(E.85)
ds
2 =
A
2 cos
2 r
−1
“
(q
1 )
2 +(q
2 )
2
”
c 2 n 2
„
1−e 2 sin 2 r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«« ×
×
0
B
@tan
2
0
@ π
4
−
r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
2
1
A
0
@
1+e sin r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1−e sin r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1
A
e
2
1
C
A
−n
h `
q
1
´ 2 +
`
q
2
´ 2
i
.
(E.86)
Variant two (UC). Equidistant map of two parallel circles Φ 1 /Φ 2 (Lambert conformal projection):
n =
ln
“
cos Φ 1
√
1−e 2 sin 2 Φ 1
”
−ln
“
cos Φ 2
√
1−e 2 sin 2 Φ 2
”
ln tan
“
π
4
−
Φ 1
2
”“ 1+e sin Φ 1
1−e sin Φ 1
” e
2 −ln tan
“
π
4
−
Φ 2
2
”“ 1+e sin Φ 2
1−e sin Φ 2
” e
2
,
(E.87)
c =
A cos Φ 1
n
√
1−e 2 sin 2 Φ 1
„
tan
` π
4
−
Φ 1
2
´ “
1+e sin Φ 1
1−e sin Φ 1
” e
2
« −n
,
(E.88)
ds
2 =
A
2 cos
2 r
−1
“
(q
1 )
2 +(q
2 )
2
”
c 2 n 2
„
1−e 2 sin 2 r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«« ×
×
0
@ tan
2
0
@ π
4
−
r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
2
1
A
0
@
1+e sin r
−1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1−e sin r −1
„ q
(q 1 )
2 +(q 2 )
2
«
1
A
e1
A
−n h `
q
1
´ 2 +
`
q
2
´ 2
i
.
(E.89)
(λ(q
1 , q
2 ) from series inversion of q
1 (Λ, Φ) and q
2 (Λ, Φ) leading to Λ(q
1 , q
2 ) and Φ(q
1 , q
2 ).
See J. P. Snyder (1987), pp. 109.)