20-5 Deformation analysis: Riemann, Soldner, Gauss–Krueger coordinates 447
Proof (Gauss–Krueger, Λ 1 = Λ 2 = Λ, l := L − L 0 ).
I AGK =
1
S E 2
A 1 ,A 2
dS E 2
A 1 ,A 2
(Λ − 1)
2 =
A
2
1 (1 − E
2 )
S E 2
A 1 ,A 2
+l E
−l E
dl
B N
B S
dB
cos B(Λ − 1)
2
(1 − E 2 sin
2 B 2 ) 2 , (20.152)
Λ − 1 =
1
2
cos
2 B
1 − E
2 sin
2 B
1 − E 2
l
2 +
+O GK (l
4 ) ,
(Λ − 1)
2 =
1
4
cos
4 B
(1 − E
2 sin
2 B)
2
(1 − E 2 ) 2
l
4 +
+O GK (l
6 ) ,
(20.153)
dS E 2
A 1 ,A 2
(Λ − 1)
2 =
1
4
A
2
1
1 − E 2
+l E
−l E
dl
⎡
⎣ l
4
B N
B S
dB cos
5 B + O GK (l
6 )
⎤
⎦ =
=
1
10
A
2
1
1 − E 2 l
5
E
sin B N − sin B S −
2
3
(sin
3 B N − sin
3 B S ) +
1
5
(sin
5 B N − sin
5 B S )
+
+O GK (l
7
E ) ,
(20.154)
1
S E 2
A 1 ,A 2
=
1
2A 2
1 (1 − E 2 )
l
−1
E
sin B N − sin B S +
2
3
E
2 (sin
3 B N − sin
3 B S ) + O 1 (E
4 )
−1
=
=
1
2A 2
1 (1 − E 2 )
l
−1
E (sin B N − sin B S )
−1
1 −
2
3
E
2 sin
3 B N − sin
3 B S
sin B N − sin B S
+ O 2 (E
4 )
,
(20.155)
I AGK =
1
20
l
4
E
(1 − E 2 ) 2
1 −
2
3
sin
3 B N − sin
3 B S
sin B N − sin B S
+
1
5
sin
5 B N − sin
5 B S
sin B N − sin B S
×
×
1 −
2
3
E
2 sin
3 B N − sin
3 B S
sin B N − sin B S
+ O 2 (E
4 )
+
+O GK (l
6
E ) ,
(20.156)
I AGK (B N = −B S ) =
1
20
l
4
E
(1 − E 2 ) 2 ×
×
1 −
2
3
sin
2 B N (1 + E
2 ) + sin
4 B N
4
9
E
2 +
1
5
−
2
15
E
2 sin
6 B N + O 2 (E
4 )
+
+O GK (l
6
E ) .
(20.157)
End of Proof.