1-3 Two examples: pseudo-cylindrical and orthogonal map projections 25
Box 1.13 (Orthogonal projection S
2
R + onto P
2
O , Cartesian coordinates, the first problem).
x = r cos α , y = r sin α , Λ(x, y) = arctan
Y
X
= arctan
y
x
= α ,
Φ(x, y) = arccos
√
X 2 + Y 2
R
= arccos
p
x 2 + y 2
R
= arccos
r
R
.
(1.91)
Right Jacobi matrix:
J r :=
"
D x Λ D y Λ
D x Φ D y Φ
#
=
1
p
x 2 + y 2
2
6
6
4
−
y
p
x 2 + y 2
+
x
p
x 2 + y 2
−
x
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
−
y
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
3
7
7
5 ,
D x Λ = −
y
x 2 + y 2 , D y Λ = +
x
x 2 + y 2 ,
D x Φ = −
x
p
x 2 + y 2
1
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
, D y Φ = −
y
p
x 2 + y 2
1
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
.
(1.92)
Right Cauchy–Green matrix:
C r := J
∗
r G l J r , G l = R
2
"
cos
2 Φ
0
0
1
#
=
"
x
2 + y
2 0
0
R
2
#
, C r =
1
x 2 + y 2 ×
×
2
6
6
4
y
p
x 2 + y 2
x
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
−
x
p
x 2 + y 2
y
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
3
7
7
5
"
x
2 + y
2 0
0
R
2
#
2
6
6
4
y
p
x 2 + y 2
−
x
p
x 2 + y 2
x
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
y
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
3
7
7
5 =
=
1
x 2 + y 2
2
6
6
6
4
y
p
x 2 + y 2 x
R
2
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
−x
p
x 2 + y 2 y
R
2
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
y
p
x 2 + y 2
−
x
p
x 2 + y 2
x
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
y
p
R 2 − (x 2 + y 2 )
3
7
7
7
5
=
=
1
R 2 − (x 2 + y 2 )
"
R
2 − y
2
xy
xy
R
2 − x
2
#
.
(1.93)
Right Cauchy–Green tensor:
C r =
2
X
µ,ν=1
e
µ ⊗ e
ν C µν =
2
X
µ,ν=1
C µν e
µ ⊗ e
ν ,
R
2 = span{e 1 , e 2 } = span{e
1 , e
2 } ,
˙
e µ eν
¸
= δ µν , e µ
2 = 1 ,
C r = e 1 ⊗ e 1 C 11 +
1
2
`
e 1 ⊗ e 2 + e 2 ⊗ e 1
´
2C 12 + e 2 ⊗ e 2 C 22 =
= e 1 ⊗ e 1
R
2 − y
2
R 2 − (x 2 + y 2 )
+
1
2
`
e 1 ⊗ e 2 + e 2 ⊗ e 1
´
2xy
R 2 − (x 2 + y 2 )
+ e 2 ⊗ e 2
R
2 − x
2
R 2 − (x 2 + y 2 )
,
1
2
`
e µ ⊗ e ν + e ν ⊗ e µ
´
=: e µ ∨ e ν (symmetric product) ,
C r = e 1 ∨ e 1
R
2 − y
2
R 2 − (x 2 + y 2 )
+ e 1 ∨ e 2
2xy
R 2 − (x 2 + y 2 )
+ e 2 ∨ e 2
R
2 − x
2
R 2 − (x 2 + y 2 )
.
(1.94)