15-2 A fundamental solution for the Korn–Lichtenstein equations 321
Box 15.1 (Taylor expansion of r(B) and s(B)).
Taylor expansion of r(B) up to order three:
r :=
p
G 11 /G 22 =
= cos B
1 − E
2 sin
2 B
1 − E 2
=
=
N
X
n=0
1
n!
r
(n) (B 0 )b
n =
N
X
n=0
r n b
n ,
(15.37)
r 0 = +
cos B 0 (1 − E
2 sin
2 B 0 )
1 − E 2
,
r 1 = −
sin B 0 (1 + 2E
2 − 3E
2 sin
2 B 0 )
1 − E 2
,
r 2 = −
cos B 0 (1 + 2E
2 − 9E
2 sin
2 B 0 )
2(1 − E 2 )
,
r 3 = +
sin B 0 (1 + 20E
2 − 27E
2 sin
2 B 0 )
6(1 − E 2 )
.
(15.38)
Taylor expansion of s(B) up to order three:
s :=
p
G 22 /G 11 =
=
1 − E
2
cos B(1 − E 2 sin
2 B)
=
=
N
X
n=0
1
n!
s
(n) (B 0 )b
n =
N
X
n=0
s n b
n ,
(15.39)
s 0 =
1 − E
2
cos B 0 (1 − E 2 sin
2 B 0 )
,
s 1 =
(1 − E
2 ) sin B 0 (1 + 2E
2 − 3E
2 sin
2 B 0 )
cos 2 B 0 (1 − E 2 sin
2 B 0 ) 2
,
s 2 =
(1 − E
2 )
2 cos 3 B 0 (1 − E 2 sin
2 B 0 ) 3 ×
×
ˆ
1 + 2E
2 + sin
2 B 0 (1 − 4E
2 + 6E
4 ) − E
2 sin
4 B 0 (2 + 13E
2 ) + 9E
4 sin
6 B 0
˜
,
s 3 =
(1 − E
2 ) sin B 0
6 cos 4 B 0 (1 − E 2 sin
2 B 0 ) 4 ×
×
ˆ
5 + 4E
2 + 24E
4 + sin
2 B 0 (1 − 17E
2 − 80E
4 + 24E
6 ) − E
2 sin
4 B 0 (5 − 91E
2 + 68E
4 )−
− E
4 sin
6 B 0 (17 − 65E
2 ) − 27E
6 sin
8 B 0
˜
.
(15.40)