1-2 Stretch or length distortion 17
2nd identity:
F
2
11
1, −
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
G 11 G 12
G 12 G 22
⎡
⎣
1
−
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
⎤
⎦ = 1
⇐⇒ F
2
11
G 11 − G 12
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
, G 12 − G 22
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
⎡
⎣
1
−
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
⎤
⎦ = 1
⇐⇒ F
2
11
G 11 − 2G 12
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
+ G 22
(c12−Λ
2
1 G 12 )
2
(c22−Λ
2
1 G 22 )
2
= 1
=⇒ F 11 = ±
c 22 − Λ
2
1 G 22
c 22 − Λ 2
1 G 22
2 G 11 − 2
c 12 − Λ 2
1 G 12
c 22 − Λ 2
1 G 22
G 12 +
c 12 − Λ 2
1 G 12
2 G 22
⇐⇒
⎡
⎣
F 11
F 21
⎤
⎦ = F 11
⎡
⎣
1
−
c 12 −Λ
2
1 G 12
c 22 −Λ 2
1 G 22
⎤
⎦ =
= ±
1
c 22 − Λ 2
1 G 22
2 G 11 − 2
c 12 − Λ 2
1 G 12
c 22 − Λ 2
1 G 22
G 12 +
c 12 − Λ 2
1 G 12
2 G 22
×
×
c 22 − Λ
2
1 G 22
−
c 12 − Λ
2
1 G 12
q. e. d.
(1.68 )
1st identity:
F
2
22
−
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
, 1
G 11 G 12
G 12 G 22
⎡
⎣
−
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
1
⎤
⎦ = 1
⇐⇒ F
2
22
G 12 − G 11
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
, G 22 − G 12
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
⎡
⎣
−
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
1
⎤
⎦ = 1
⇐⇒ F
2
22
G 22 − 2G 12
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
+ G 11
(c12−Λ
2
2 G 12 )
2
(c11−Λ
2
2 G 11 )
2
= 1
=⇒ F 22 = ±
c 11 − Λ
2
2 G 11
c 11 − Λ 2
2 G 11
2 G 22 − 2
c 11 − Λ 2
2 G 11
c 12 − Λ 2
2 G 12
G 12 +
c 12 − Λ 2
2 G 12
2 G 11
⇐⇒
⎡
⎣
F 12
F 22
⎤
⎦ = F 22
⎡
⎣
−
c 12 −Λ
2
2 G 12
c 11 −Λ 2
2 G 11
1
⎤
⎦ =
= ±
1
c 11 − Λ 2
2 G 11
2 G 22 − 2
c 11 − Λ 2
2 G 11
c 12 − Λ 2
2 G 12
G 12 +
c 12 − Λ 2
2 G 12
2 G 11
×
×
−
c 12 − Λ
2
2 G 12
c 11 − Λ
2
2 G 11
q. e. d.
(1.69)
End of Proof.